Das Supremum der Längen n streng wachsender Ketten von Primidealen p0 ⊊ p1 ⊊ ... ⊊ pn, die im gegebenen Primideal p enden; äquivalent zur lokalen Krull-Kodimension von p und dient als lokales Maß der Dimension.

Prinzip

Zähle die maximale Anzahl strenger Inklusionen von Primidealen, die in p enden. Die Höhe ist eine ordnungstheoretische, lokale Darstellung der Dimension und zeigt, wie viele unabhängige Primschritte unter p liegen.

Demonstration

In k[x,y] mit k einem Körper hat ein maximales Ideal (x-a,y-b) Höhe 2, da man Ketten wie 0 ⊊ (f) ⊊ (x-a,y-b) mit bis zu zwei strengen Inklusionen erhält, entsprechend der Krull-Dimension 2; das Zeroideal hat in einem Integritätsbereich meist Höhe 0.

Fehlanwendung

Die Höhe mit der Dimension des Quotientenrings R/p oder mit der Kodimension in einer Einbettung zu verwechseln kann irreführend sein: Höhe(p) ist die Kodimension von p in Spec(R), nicht notwendigerweise die Einbettungsdimension.

Konsequenz

Höhen ordnen Primideale nach lokaler Dimensionalität; maximale Ideale realisieren die Krull-Dimension des Rings. Die Kontrolle von Höhen ist wesentlich in der Dimensionstheorie, der Primzerlegung und Regularitätskriterien.

Umkehrung

Das duale Konzept ist die Dimension der Lokalisierung bei p (dim R_p), die Ketten von Primidealen misst, die in p enthalten sind; der Vergleich von Höhe(p) und dim R/p liefert komplementäre lokale und globale Perspektiven.

Abgrenzung

Gilt für Primideale in kommutativen Einheitsringen; in nichtkommutativen Kontexten verhalten sich Primketten oft anders. Die Höhe ist eine Eigenschaft von Primidealen, nicht unmittelbar von beliebigen Idealen ohne Bezug auf assoziierte Primideale.

Semantische Spannung

Höhe steht im Spannungsfeld mit Begriffen wie Kodimension, Krull-Dimension und Transzendenzgrad in geometrischen Zusammenhängen; dieselbe Zahl kann je nach Kontext unterschiedliche algebraische oder geometrische Bedeutungen tragen.

Synthese

Die Höhe eines Primideals misst die maximal mögliche Anzahl strenger Priminklusionen unter diesem Ideal und dient als punktueller Dimensionsindikator im Spektrum, der algebraische Kettenbedingungen mit geometrischer Kodimension verknüpft.