Le nombre cardinal de l'ensemble des classes à gauche (équivalemment à droite) d'un sous-groupe H dans un groupe G ; il mesure la taille relative de H dans G et est fini lorsque G se décompose en un nombre fini de classes de H.

Principe

L'indice compte les classes distinctes qui partitionnent le groupe et satisfait des relations multiplicatives dans les tours : si K ≤ H ≤ G et que les indices sont finis alors [G:K] = [G:H]·[H:K].

Démonstration

Dans Z le sous-groupe 2Z a pour indice 2 car les classes sont 2Z et 1+2Z ; dans S4 le stabilisateur d'un point a indice 4 puisque le point a quatre images sous les permutations, produisant quatre classes distinctes.

Mauvaise application

Supposer que la finitude de l'indice implique la normalité, ou confondre indice et ordre du sous-groupe : un sous-groupe d'indice 2 est toujours normal mais un indice 3 ne l'est pas forcément ; de plus des groupes infinis peuvent avoir des sous-groupes d'indice fini, donc finitude de l'indice n'implique pas la finitude du sous-groupe lui-même.

Conséquence

L'indice fini a de nombreuses conséquences structurelles : actions du groupe sur l'espace des classes, existence de cœurs normaux d'indice fini, et restrictions sur les homomorphismes possibles ; en théorie géométrique des groupes, les sous-groupes d'indice fini héritent de nombreuses propriétés à grande échelle du groupe ambiant.

Inversion

La perspective inverse considère le sous-groupe par son caractère ‘clairsemé’ : le sous-groupe trivial a l'indice maximal égal à |G| dans les groupes finis, tandis que le groupe entier a indice 1 ; l'inversion met l'accent sur les extrêmes denses (indice 1) à clairsemés (indice grand ou infini).

Limite

Défini pour les sous-groupes de groupes ; exclut les sous-ensembles généraux, sous-monoïdes, ou relations où la partition en classes échoue ; l'indice peut être infini et des conventions différentes apparaissent pour les groupes topologiques ou mesurés où l'«indice» doit tenir compte de la mesure ou de la topologie.

Tension sémantique

La tension apparaît entre indice et ordre du groupe quotient : lorsque H est normal, [G:H] = |G/H|, mais sans normalité l'indice est toujours défini alors que le groupe quotient ne l'est pas ; les débutants peuvent confondre ces notions.

Synthèse

L'indice d'un sous-groupe quantifie la manière dont le sous-groupe partitionne le groupe en classes, satisfait des relations multiplicatives dans les chaînes de sous-groupes et contrôle de nombreuses propriétés algébriques et géométriques via des arguments d'indice fini.