Die Kardinalität der Menge der Linksnebenklassen (äquivalent Rechtsnebenklassen) eines Untergruppes H in einer Gruppe G; sie misst die relative Größe von H in G und ist endlich, wenn G in endlich viele Nebenklassen von H zerfällt.

Prinzip

Der Index zählt die verschiedenen Nebenklassen, die die Gruppe partitionieren, und erfüllt in Turmkonfigurationen multiplikative Relationen: Sind K ≤ H ≤ G und die Indices endlich, dann gilt [G:K] = [G:H]·[H:K].

Demonstration

In Z hat die Untergruppe 2Z Index 2, weil die Nebenklassen 2Z und 1+2Z sind; in S4 hat der Stabilisator eines Punktes Index 4, da es vier Bilder dieses Punktes unter Permutationen gibt und damit vier verschiedene Nebenklassen.

Fehlanwendung

Annahme, dass endlicher Index Normalität impliziert, oder Verwechslung von Index und Ordnung des Untergruppes: Ein Untergruppes mit Index 2 ist stets normal, doch Index 3 muss nicht normal bedeuten; ferner können unendliche Gruppen Untergruppen endlichen Indexes haben, daher folgt aus endlichem Index nicht die Endlichkeit der Untergruppe.

Konsequenz

Endlicher Index hat viele strukturelle Konsequenzen: Gruppengarnitur auf dem Nebenklassenraum, Existenz eines normalen Kerns von endlichem Index und Einschränkungen für mögliche Homomorphismen; in der geometrischen Gruppentheorie erben Untergruppen endlichen Indexes viele großskalige Eigenschaften der übergeordneten Gruppe.

Umkehrung

Die umgekehrte Sicht betrachtet den Untergruppendurch seine 'Sparsamkeit': Die triviale Untergruppe hat in endlichen Gruppen den maximalen Index gleich |G|, während die ganze Gruppe Index 1 besitzt; die Umkehrung betont die Extreme von dicht (Index 1) bis spärlich (großer oder unendlicher Index).

Abgrenzung

Definiert für Untergruppen von Gruppen; schließt allgemeine Teilmengen, Untermonoidale oder Relationen aus, bei denen die Nebenklassenpartition nicht funktioniert; der Index kann unendlich sein und in topologischen oder gemessenen Gruppen können andere Konventionen gelten, die Maß oder Topologie berücksichtigen.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Index und Ordnung des Quotientengruppen: Ist H normal, so gilt [G:H] = |G/H|, doch ohne Normalität ist der Index weiterhin definiert, während die Quotientengruppe nicht existiert; Einsteiger verwechseln diese Begriffe leicht.

Synthese

Der Index eines Untergruppes quantifiziert, wie der Untergrupp den Gesamtgruppe in Nebenklassen partitioniert, erfüllt multiplikative Relationen in Untergruppenketten und steuert viele algebraische und geometrische Vererbungseigenschaften über Argumente mit endlichem Index.