El número cardinal del conjunto de clases laterales izquierdas (equivalente a las derechas) de un subgrupo H en un grupo G; mide el tamaño relativo de H dentro de G y es finito cuando G se descompone en un número finito de clases de H.

Principio

El índice cuenta las clases distintas que particionan el grupo y satisface relaciones multiplicativas en torres: si K ≤ H ≤ G y los índices son finitos entonces [G:K] = [G:H]·[H:K].

Demostración

En Z el subgrupo 2Z tiene índice 2 porque las clases son 2Z y 1+2Z; en S4 el estabilizador de un punto tiene índice 4 ya que hay cuatro imágenes para ese punto bajo la acción por permutación, dando cuatro clases distintas.

Aplicación incorrecta

Suponer que la finitud del índice implica normalidad, o confundir índice con el orden del subgrupo: un subgrupo de índice 2 es siempre normal pero uno de índice 3 no tiene por qué serlo; además, grupos infinitos pueden tener subgrupos de índice finito, por lo que finitud del índice no implica finitud del subgrupo en sí.

Consecuencia

Tener índice finito trae muchas consecuencias estructurales: acciones del grupo sobre el espacio de clases, existencia del núcleo normal de índice finito y restricciones sobre homomorfismos posibles; en teoría geométrica de grupos los subgrupos de índice finito heredan muchas propiedades a gran escala del grupo ambiente.

Inversión

La vista inversa considera al subgrupo por su escasez: el subgrupo trivial tiene índice máximo igual a |G| en grupos finitos, mientras que el propio grupo tiene índice 1; la inversión enfatiza los extremos desde denso (índice 1) hasta escaso (índice grande o infinito).

Límite

Definido para subgrupos de grupos; excluye subconjuntos generales, submonos o relaciones donde la partición en clases falla; el índice puede ser infinito y pueden surgir convenciones distintas para grupos topológicos o medidos donde el 'índice' debe tener en cuenta la medida o la topología.

Tensión semántica

Aparece tensión entre índice y orden del grupo cociente: cuando H es normal, [G:H] = |G/H|, pero sin normalidad el índice sigue estando definido mientras que el grupo cociente no existe; los principiantes pueden confundir estas nociones.

Síntesis

El índice de un subgrupo cuantifica cómo el subgrupo particiona el grupo en clases, satisface relaciones multiplicativas en cadenas de subgrupos y controla numerosas propiedades algebraicas y geométricas mediante argumentos de índice finito.