Le plus petit entier positif n tel que le n-ième produit (ou somme en notation additive) d'un élément d'un groupe soit l'identité ; s'il n'existe pas d'entier positif tel, l'élément est dit d'ordre infini.

Principe

L'ordre mesure la période minimale positive d'itération d'un élément pour l'opération de groupe et engendre un sous-groupe cyclique dont le cardinal égale cet ordre lorsque celui-ci est fini.

Démonstration

Dans le groupe additif Z/12Z la classe de 3 a pour ordre 4 car 4·3 ≡ 0 (mod 12) ; dans le groupe symétrique S3 une transposition a ordre 2 et un 3-cycle a ordre 3.

Mauvaise application

Confondre l'ordre avec l'indice ou avec l'ordre du groupe entier ; par exemple supposer que l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe sans vérifier que le groupe est fini, ou utiliser la notation additive alors que le groupe est écrit multiplicativement.

Conséquence

Connaître l'ordre d'un élément détermine la structure du sous-groupe cyclique qu'il engendre, contraint les homomorphismes depuis des groupes cycliques et sous-tend des résultats tels que : si g a ordre n alors g^k a pour ordre n/ gcd(n,k).

Inversion

La perspective inverse considère les éléments par leur incapacité à revenir à l'identité : les éléments d'ordre infini ne se répètent jamais, tandis que les éléments de torsion (ordre fini) reviennent; l'inversion met en lumière la différence qualitative entre comportement à torsion et sans torsion.

Limite

Défini en théorie des groupes pour les éléments de groupe ; ne s'applique pas directement aux structures binaires non groupales, aux éléments de semi-groupes sans inverses, ni aux transformations lorsque l'itération n'aboutit pas à une identité périodique.

Tension sémantique

Il existe une tension entre 'ordre d'un élément' et 'ordre d'un groupe' ou 'indice d'un sous-groupe' — mesures apparentées mais distinctes de taille et de périodicité, facilement confondues par les débutants.

Synthèse

L'ordre d'un élément est la période minimale positive sous l'opération du groupe qui donne l'identité, donnant la taille du sous-groupe cyclique engendré et contrôlant les propriétés d'exponentiation/itération.