Die kleinste positive ganze Zahl n, sodass das n-fache Produkt (oder die n-fache Summe in additiver Notation) eines Elements in einer Gruppe das Identitätselement ergibt; existiert keine solche positive ganze Zahl, so hat das Element unendliche Ordnung.

Prinzip

Die Ordnung misst die kleinste positive Periode der Iteration eines Elements unter der Gruppenoperation und erzeugt eine zyklische Untergruppe, deren Kardinalität bei endlicher Ordnung gleich dieser Ordnung ist.

Demonstration

In der additiven Gruppe Z/12Z hat die Restklasse von 3 die Ordnung 4, weil 4·3 ≡ 0 (mod 12); in der symmetrischen Gruppe S3 hat eine Transposition Ordnung 2 und ein 3-Zyklus Ordnung 3.

Fehlanwendung

Verwechslung der Ordnung mit dem Index oder mit der Ordnung der ganzen Gruppe; etwa die Annahme, dass die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung teilt, ohne zu prüfen, dass die Gruppe endlich ist, oder Verwendung additiver Notation bei einer multiplikativ geschriebenen Gruppe.

Konsequenz

Kenntnis der Ordnung eines Elements bestimmt die Struktur der von ihm erzeugten zyklischen Untergruppe, schränkt mögliche Homomorphismen von zyklischen Gruppen ein und begründet Aussagen wie: Hat g Ordnung n, so hat g^k Ordnung n/ gcd(n,k).

Umkehrung

Die Umkehrung sieht Elemente danach, dass sie nicht zur Identität zurückkehren: Elemente unendlicher Ordnung wiederholen sich nie, während Torsionselemente (endliche Ordnung) schließlich zurückkehren; die Umkehrung hebt den qualitativen Unterschied zwischen torsionsbehaftetem und torsionsfreiem Verhalten hervor.

Abgrenzung

Definiert in der Gruppentheorie für Gruppenelemente; gilt nicht unmittelbar für nichtgruppalen binären Strukturen, für Elemente von Halbgruppen ohne Inverse oder für Transformationen, bei denen Iteration nicht zu einer periodischen Identität führt.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen 'Ordnung eines Elements' und 'Ordnung einer Gruppe' oder 'Index einer Untergruppe' — verwandte, aber verschiedene Maße von Größe und Periodizität, die leicht verwechselt werden.

Synthese

Die Ordnung eines Elements ist die kleinste positive Periode unter der Gruppenoperation, die zur Identität führt; sie gibt die Größe der erzeugten zyklischen Untergruppe an und steuert Exponentiations- und Iterationseigenschaften.