El menor entero positivo n tal que el producto n-ario (o la suma n veces en notación aditiva) de un elemento en un grupo es la identidad; si no existe tal entero positivo se dice que el elemento tiene orden infinito.

Principio

El orden mide el periodo positivo mínimo de iteración de un elemento bajo la operación de grupo y genera un subgrupo cíclico cuyo cardinal coincide con ese orden cuando es finito.

Demostración

En el grupo aditivo Z/12Z la clase de 3 tiene orden 4 porque 4·3 ≡ 0 (mod 12); en el grupo simétrico S3 una transposición tiene orden 2 y un 3-ciclo tiene orden 3.

Aplicación incorrecta

Confundir orden con índice o con el orden del grupo entero; por ejemplo asumir que el orden de cada elemento divide la orden del grupo sin comprobar que el grupo es finito, o usar notación aditiva cuando el grupo se presenta multiplicativamente.

Consecuencia

Conocer el orden de un elemento determina la estructura del subgrupo cíclico que genera, restringe los homomorfismos desde grupos cíclicos y fundamenta resultados como: si g tiene orden n entonces g^k tiene orden n/ gcd(n,k).

Inversión

La inversión es ver los elementos por su incapacidad de volver a la identidad: los de orden infinito nunca repiten, mientras que los elementos de torsión (orden finito) eventualmente retornan; la inversión destaca la diferencia cualitativa entre comportamiento con torsión y sin torsión.

Límite

Definido en teoría de grupos para elementos de grupo; no se aplica directamente a estructuras binarias que no son grupos, a elementos de semigrupos sin inversos ni a transformaciones donde la iteración no produce una identidad periódica.

Tensión semántica

Hay tensión entre 'orden de un elemento' y 'orden de un grupo' o 'índice de un subgrupo' — medidas relacionadas pero distintas de tamaño y periodicidad que pueden ser confundidas por principiantes.

Síntesis

El orden de un elemento es el periodo positivo mínimo bajo la operación del grupo que produce la identidad, dando el tamaño del subgrupo cíclico generado y controlando propiedades de exponentiación/iteración.