Procédure qui exprime un endomorphisme linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps approprié) comme somme directe de blocs de Jordan, ou, de façon équivalente, qui décompose l'endomorphisme en la somme commutante d'une partie semi-simple (diagonalisable) et d'une partie nilpotente partageant les mêmes espaces propres généralisés.

Principe

Séparer le comportement spectral (semi-simple) du comportement nilpotent de sorte que l'opérateur s'écrive s+n avec s semi-simple, n nilpotent et [s,n]=0 ; lorsque le corps de base est algébriquement clos, ceci donne une décomposition canonique à l'ordre près des blocs.

Démonstration

Sur les complexes, une matrice 3×3 dont le polynôme caractéristique est (λ−2)^3 peut être conjuguée à une matrice de Jordan à un bloc 3×3 (partie nilpotente non nulle) ou à une matrice diagonale si tous les blocs de Jordan sont 1×1 ; de manière équivalente la matrice s'écrit comme la somme de sa partie diagonalisable (s) et de sa partie nilpotente (n) qui commutent.

Mauvaise application

Appliquer la décomposition de Jordan sans vérifier les hypothèses : chercher à écrire une opérateur sur un corps non algébriquement clos sous forme normale de Jordan, ou forcer une décomposition pour un opérateur d'espace infini sans établir une décomposition en espaces propres généralisés.

Conséquence

Lorsque applicable, la décomposition fournit une description canonique locale de l'opérateur, facilite le calcul de fonctions de l'opérateur (exponentielle, évaluations de polynômes) et clarifie la structure des sous-espaces invariants et la classification par similarité.

Inversion

L'inversion consiste à considérer un opérateur uniquement comme 'diagonalisable' (semi-simple) ou uniquement comme 'nilpotent' ; les extrêmes sont les opérateurs purement semi-simples (partie nilpotente nulle) ou purement nilpotents (partie semi-simple scalaire ou nulle).

Limite

S'applique principalement aux endomorphismes linéaires d'espaces vectoriels de dimension finie dont le polynôme minimal se scinde ; exclut les applications non linéaires, les opérateurs sans corps de scindage et de nombreux opérateurs en dimension infinie sauf sous hypothèses spectrales supplémentaires.

Tension sémantique

La tension est entre la forme normale de Jordan (forme canonique au niveau matrice sur corps algébriquement clos) et la forme canonique rationnelle (valable sur tout corps) ; les deux décomposent la structure mais diffèrent par l'unicité et la dépendance au corps.

Synthèse

La décomposition de Jordan organise un opérateur linéaire en composantes semi-simples et nilpotentes qui commutent (ou en blocs de Jordan explicites), permettant de traiter séparément la multiplicité spectrale et la nilpotence sur les espaces propres généralisés pour la classification et le calcul.