Ein Verfahren, einen linearen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums (über einem geeigneten Körper) als direkte Summe von Jordanblöcken darzustellen oder äquivalent den Endomorphismus in die kommutierende Summe einer semisimplen (diagonalisierbaren) und einer nilpotenten Komponente zu zerlegen, die dieselben verallgemeinerten Eigenräume teilen.

Prinzip

Die spektrale (semisimple) Komponente von der nilpotenten Komponente trennen, sodass der Operator als s+n mit s semisimplem, n nilpotentem Anteil und [s,n]=0 geschrieben werden kann; über algebraisch abgeschlossenen Körpern ergibt dies bis auf Reihenfolge eine kanonische Blockzerlegung.

Demonstration

Über den komplexen Zahlen lässt sich eine 3×3-Matrix mit charakteristischem Polynom (λ−2)^3 zu einer Jordanmatrix mit einem 3×3-Jordanblock konjugieren (nilpotenter Anteil nicht null) oder zu einer Diagonalmatrix, wenn alle Jordanblöcke 1×1 sind; äquivalent ist die Matrix die Summe ihres diagonalisierbaren Teils (s) und ihres nilpotenten Teils (n), die kommutieren.

Fehlanwendung

Jordan-Zerlegung ohne Prüfung der Voraussetzungen anwenden: z. B. versuchen, über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper die Jordan-Normalform anzusetzen, oder eine Zerlegung für unendlichdimensionale Operatoren erzwingen, ohne die passende verallgemeinerte Eigenraumzerlegung nachzuweisen.

Konsequenz

Wenn anwendbar liefert die Zerlegung eine kanonische lokale Beschreibung des Operators, vereinfacht Berechnungen von Funktionen des Operators (z. B. Exponential- oder Polynomauswertung) und macht die Struktur invarianten Unterräume sowie die Klassifikation nach Ähnlichkeit deutlich.

Umkehrung

Das Umkehren besteht darin, den Operator ausschließlich als 'diagonalisierbar' (semisimple) oder ausschließlich als 'nilpotent' zu betrachten; die Extremfälle sind rein semisimple Operatoren (nilpotenter Anteil null) versus rein nilpotente Operatoren (semisimpler Anteil trivial).

Abgrenzung

Gilt vorwiegend für lineare Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume, deren Minimalpolynom zerfällt; ausgeschlossen sind nichtlineare Abbildungen, Operatoren ohne Zerfällungskörper und viele unendlichdimensionale Operatoren ohne zusätzliche spektrale Voraussetzungen.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der Jordan-Normalform (kanonische Matrixform über algebraisch abgeschlossenen Körpern) und der rationalen Normalform (über beliebigen Körpern anwendbar); beide beschreiben Struktur, unterscheiden sich jedoch in Eindeutigkeit und Feldabhängigkeit.

Synthese

Die Jordan-Zerlegung ordnet eine lineare Abbildung in kommutierende semisimple und nilpotente Anteile (oder explizite Jordanblöcke), sodass man die spektrale Vielfachheit und die Nilpotenz in den verallgemeinerten Eigenräumen getrennt behandeln kann zur Klassifikation und Berechnung.