Procedimiento que expresa un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimensión finita (sobre un cuerpo adecuado) como suma directa de bloques de Jordan, o equivalentemente descompone el endomorfismo en la suma conmutativa de una parte semisimple (diagonalizable) y una parte nilpotente que comparten los mismos subespacios generalizados de autovalores.

Principio

Separar el comportamiento espectral (semisimple) del comportamiento nilpotente para escribir el operador como s+n con s semisimple, n nilpotente y [s,n]=0; sobre cuerpos algebraicamente cerrados esto proporciona una descomposición canónica de bloques, definida salvo ordenación.

Demostración

Sobre los complejos, una matriz 3×3 con polinomio característico (λ−2)^3 puede conjugarse a una matriz de Jordan con un bloque 3×3 (parte nilpotente no nula) o a una matriz diagonal cuando todos los bloques de Jordan son 1×1; equivalentemente la matriz es la suma de su parte diagonalizable (s) y su parte nilpotente (n) que conmutan.

Aplicación incorrecta

Aplicar la descomposición de Jordan sin comprobar hipótesis: intentar la forma normal de Jordan sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, o forzar la descomposición en situaciones de dimensión infinita sin una descomposición de los subespacios generalizados de autovalores.

Consecuencia

Cuando es aplicable, la descomposición ofrece una descripción canónica del operador, facilita el cálculo de funciones del operador (por ejemplo exponencial o evaluación de polinomios) y aclara la estructura de subespacios invariantes y la clasificación por semejanza.

Inversión

La inversión es considerar el operador únicamente como 'diagonalizable' (semisimple) o únicamente como 'nilpotente'; los extremos son operadores puramente semisimple (parte nilpotente nula) frente a puramente nilpotentes (parte semisimple trivial).

Límite

Se aplica principalmente a endomorfismos lineales de espacios vectoriales de dimensión finita cuyo polinomio minimal se factoriza; excluye aplicaciones no lineales, operadores sin cuerpo de factorización y muchos operadores en dimensión infinita salvo hipótesis espectrales adicionales.

Tensión semántica

Existe tensión entre la forma normal de Jordan (forma canónica a nivel de matriz sobre cuerpos algebraicamente cerrados) y la forma canónica racional (válida sobre cuerpos arbitrarios); ambas descomponen la estructura pero difieren en unicidad y dependencia del cuerpo.

Síntesis

La descomposición de Jordan organiza un operador lineal en componentes semisimple y nilpotente que conmutan (o en bloques de Jordan explícitos), permitiendo tratar separadamente la multiplicidad espectral y la nilpotencia en los subespacios generalizados para clasificación y cómputo.