Application d'une transformation linéaire inversible pour exprimer des vecteurs, formes multilinéaires ou opérateurs linéaires par rapport à une base choisie différente, donnant de nouvelles représentations de coordonnées liées par la matrice de changement de base.

Principe

Les coordonnées se transforment contravariantes pour les vecteurs et covariantes pour les objets duaux ; les matrices représentant des opérateurs linéaires se transforment par similarité (P^{-1}AP) lors d'un changement de base P, tandis que les propriétés intrinsèques (rang, spectre en tant que multiensemble, déterminant à multiplication par unité près) restent invariantes.

Démonstration

Dans R^2, passer de la base canonique à une base tournée d'un angle θ revient à multiplier les vecteurs-colonne de coordonnées par la matrice de rotation R(θ) ; la matrice d'un opérateur linéaire dans la base tournée est R(θ)^{-1} A R(θ).

Mauvaise application

Considérer le changement de base comme modifiant l'action intrinsèque d'un opérateur au lieu de sa simple représentation ; oublier de transformer correctement covecteurs, formes ou objets dépendant des coordonnées (par exemple en laissant la base duale inchangée).

Conséquence

Choisir une base adaptée peut simplifier les calculs (formes clairsemées ou canoniques), révéler des sous-espaces invariants et permettre des formes normales canoniques (de Jordan, rationnelle, diagonalisations orthogonales) qui clarifient la structure et facilitent des opérations comme l'exponentiation matricielle.

Inversion

Appliquer la matrice inverse de changement de base restaure la représentation de coordonnées initiale ; la composition de changements de base correspond à la multiplication des matrices inversibles correspondantes.

Limite

Nécessite une transformation linéaire inversible (la matrice de changement de base doit être non singulière). Ne s'applique pas aux changements de coordonnées non linéaires ni aux objets dépourvus de structure linéaire ; prudence requise sur des anneaux non corps où l'inversibilité peut faire défaut.

Tension sémantique

Tension entre les points de vue passif (changement d'étiquetage des coordonnées) et actif (déplacement réel des vecteurs) : les mêmes formules représentent soit une relabellisation soit une transformation effective. Tension aussi entre changement de base et classification par similarité : les classes de similarité classifient les matrices indépendamment de la base, tandis que les changements de base fournissent des représentants concrets.

Synthèse

Le changement de base est l'opération algébrique qui réexprime des données linéaires dans un autre repère de coordonnées via une matrice inversible ; il préserve la structure linéaire intrinsèque tout en modifiant les représentations pour révéler des avantages de calcul ou structurels.