Aplicar una transformación lineal invertible para expresar vectores, formas multilíneares u operadores lineales respecto a una base distinta elegida, obteniendo nuevas representaciones de coordenadas relacionadas por la matriz de cambio de base.

Principio

Las coordenadas se transforman contravariantemente para vectores y covariantemente para objetos duales; las matrices que representan operadores lineales se transforman por similitud (P^{-1}AP) bajo un cambio de base P, mientras que las propiedades intrínsecas (rango, multiconjunto de valores propios, determinante hasta unidades) permanecen invariantes.

Demostración

En R^2, cambiar de la base estándar a una base rotada por un ángulo θ equivale a multiplicar vectores columna de coordenadas por la matriz de rotación R(θ); la matriz del operador en la base rotada es R(θ)^{-1} A R(θ).

Aplicación incorrecta

Tratar el cambio de base como si alterara la acción intrínseca de un operador en lugar de solo su representación; no transformar adecuadamente covectores, formas u objetos dependientes de coordenadas (por ejemplo, dejar la base dual sin cambiar).

Consecuencia

Elegir una base conveniente puede simplificar cálculos (formas dispersas o canónicas), revelar subespacios invariantes y permitir formas normales canónicas (Jordan, racional, diagonalización ortogonal) que aclaran la estructura y facilitan operaciones como la exponenciación matricial.

Inversión

Aplicar la matriz inversa del cambio de base restaura la representación de coordenadas original; la composición de cambios de base corresponde a la multiplicación de las matrices invertibles correspondientes.

Límite

Requiere una transformación lineal invertible (la matriz de cambio de base debe ser no singular). No se aplica a cambios de coordenadas no lineales ni a objetos sin estructura lineal; tener cuidado sobre anillos que no sean cuerpos pues la invertibilidad puede fallar.

Tensión semántica

Tensión entre la visión pasiva (cambio de coordenadas) y la activa (mover vectores): las mismas fórmulas representan bien una relabelación de coordenadas o una transformación real de vectores. También tensión entre cambio de base y clasificación por similitud: las clases de similitud clasifican matrices independientemente de la base, mientras los cambios de base ofrecen representantes concretos.

Síntesis

El cambio de base es la operación algebraica de reexpresar datos lineales bajo otro sistema de coordenadas mediante una matriz invertible; preserva la estructura lineal intrínseca mientras modifica las representaciones para poner de manifiesto ventajas computacionales o estructurales.