Opération consistant à fixer la variable d'homogénéisation à un scalaire non nul (souvent 1) ou, de manière équivalente, à se restreindre à une carte affine pour récupérer un polynôme affine ou une variété affine à partir d'un polynôme homogène.

Principe

La déshomogénéisation évalue le polynôme homogène sur une carte affine choisie (par exemple z = 1) pour passer des coordonnées projectives aux coordonnées affines ; elle est l'inverse local de l'homogénéisation sur cette carte mais abandonne l'information sur l'hyperplan où la coordonnée d'homogénéisation s'annule.

Démonstration

À partir de f_h(x,y,z) = x^2 + y z + z^2, la déshomogénéisation en z = 1 donne f(x,y) = x^2 + y + 1. Les points avec z = 0 correspondent aux points à l'infini perdus par cette déshomogénéisation.

Mauvaise application

Remplacer la variable d'homogénéisation par zéro en tentant de récupérer des données affines, perdant ainsi la carte voulue et mal représentant les points à l'infini ; ou considérer la déshomogénéisation comme une opération globalement inversible plutôt que comme une restriction locale de carte.

Conséquence

La déshomogénéisation fournit des équations affines adaptées au calcul local, à la résolution et à l'analyse locale, mais omet les points projectifs situés sur l'hyperplan z = 0 et ne peut donc pas reconstituer les données projectives globales sans passer par d'autres cartes.

Inversion

L'homogénéisation réintroduit la variable d'homogénéisation et restaure la structure en degrés projectifs, produisant un polynôme homogène dont la restriction à la carte choisie retrouve le polynôme affine.

Limite

Nécessite le choix d'une valeur non nulle pour la variable d'homogénéisation et des conventions de degrés cohérentes ; valide comme inverse seulement sur la carte affine correspondante (le complément de l'hyperplan où la coordonnée d'homogénéisation s'annule). Non applicable aux polynômes qui n'ont pas été préalablement homogénéisés sans ajustement de degrés.

Tension sémantique

Tension entre la déshomogénéisation comme évaluation/substitution et comme passage à une carte affine : l'évaluation en un scalaire est une opération algébrique tandis que le passage à une carte est géométrique et local ; tension aussi entre différents choix de carte (z = 1 versus d'autres valeurs non nulles) qui introduisent des mises à l'échelle.

Synthèse

La déshomogénéisation est la procédure locale qui récupère des représentants affines à partir de polynômes homogènes en fixant la coordonnée d'homogénéisation, permettant le calcul concret sur une carte affine tout en sacrifiant nécessairement les points situés sur l'hyperplan à l'infini.