La operación de fijar la variable de homogeneización a un escalar no nulo (habitualmente 1) o, equivalentemente, restringirse a una carta afín para recuperar un polinomio afín o una variedad afín a partir de un polinomio homogéneo.

Principio

La deshomogeneización evalúa el polinomio homogéneo en una carta afín elegida (por ejemplo z = 1) para pasar de coordenadas proyectivas a afines; es la inversa local de la homogeneización en esa carta pero descarta la información de la hipersuperficie donde la coordenada de homogeneización se anula.

Demostración

De f_h(x,y,z) = x^2 + y z + z^2, deshomogeneizar en z = 1 da f(x,y) = x^2 + y + 1. Los puntos con z = 0 corresponden a puntos en el infinito que se pierden con esta deshomogeneización.

Aplicación incorrecta

Sustituir la variable de homogeneización por cero cuando se pretende recuperar datos afines, perdiendo así la carta adecuada y representando erróneamente puntos en el infinito; o tratar la deshomogeneización como una operación globalmente invertible en lugar de una restricción local de carta.

Consecuencia

La deshomogeneización produce ecuaciones afines aptas para cálculo local, resolución y análisis, pero omite los puntos proyectivos en la hipersuperficie z = 0 y por tanto no puede reconstruir datos proyectivos globales sin otras cartas.

Inversión

La homogeneización reintroduce la variable de homogeneización y restablece la estructura en grados proyectivos, produciendo un polinomio homogéneo cuya restricción a la carta elegida recupera el polinomio afín.

Límite

Requiere la elección de un valor no nulo para la variable de homogeneización y convenciones coherentes de grados; válida como inversa sólo en la carta afín correspondiente (el complemento de la hipersuperficie donde la coordenada de homogeneización se anula). No aplicable a polinomios que no proceden de una homogeneización sin ajustar grados.

Tensión semántica

Tensión entre la deshomogeneización como evaluación/substitución y como paso a una carta afín: la evaluación es una operación algebraica, mientras que pasar a una carta es geométrico y local; también entre diferentes elecciones de carta (z = 1 frente a otros valores no nulos) que introducen escalados.

Síntesis

La deshomogeneización es el procedimiento local que recupera representantes afines a partir de polinomios homogéneos fijando la coordenada de homogeneización, permitiendo cálculos concretos en una carta afín y sacrificando necesariamente los puntos en la hipersuperficie en el infinito.