Operation, bei der die Homogenisierungsvariable auf ein von null verschiedenes Skalar (häufig 1) gesetzt oder man sich auf eine affine Karte beschränkt wird, um ein affines Polynom oder eine affine Varietät aus einem homogenen Polynom zurückzugewinnen.

Prinzip

Dehomogenisierung wertet das homogene Polynom auf einer gewählten affinen Karte (z. B. z = 1) aus, um von projektiven zu affinen Koordinaten zu wechseln; sie ist die lokale Umkehrung der Homogenisierung auf dieser Karte, verwirft jedoch die Informationen über die Hyperfläche, auf der die Homogenisierungskoordinate verschwindet.

Demonstration

Aus f_h(x,y,z) = x^2 + y z + z^2 ergibt die Dehomogenisierung bei z = 1 f(x,y) = x^2 + y + 1. Punkte mit z = 0 entsprechen den Punkten im Unendlichen, die bei dieser Dehomogenisierung verloren gehen.

Fehlanwendung

Die Homogenisierungsvariable mit null zu ersetzen, wenn man affine Daten zurückgewinnen möchte, wodurch die gewünschte Karte verloren geht und Punkte im Unendlichen falsch dargestellt werden; oder die Dehomogenisierung als global invertierbar annehmen statt als lokale Kartenbeschränkung.

Konsequenz

Dehomogenisierung erzeugt affine Gleichungen, die für lokale Rechnung, Lösung und Analyse geeignet sind, lässt jedoch projektive Punkte auf der Hyperfläche z = 0 weg und kann daher ohne weitere Karten keine globalen projektiven Daten rekonstruieren.

Umkehrung

Homogenisierung führt die Homogenisierungsvariable wieder ein und stellt die projektive Gradstruktur her, so dass die Einschränkung auf die gewählte Karte das affine Polynom zurückliefert.

Abgrenzung

Erfordert die Wahl eines von null verschiedenen Werts für die Homogenisierungsvariable und konsistente Gradkonventionen; als Umkehrung nur auf der entsprechenden affinen Karte gültig (Komplement der Hyperfläche, auf der die Homogenisierungskoordinate verschwindet). Nicht anwendbar auf Polynome, die nicht durch Homogenisierung erzeugt wurden, ohne Grade anzupassen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Dehomogenisierung als Auswertung/Substitution und als Übergang zu einer affinen Karte: Auswertung an einem Skalar ist eine algebraische Operation, während der Kartenübergang geometrisch und lokal ist; zudem Spannung zwischen verschiedenen Kartenauswahlen (z = 1 versus andere von null verschiedene Werte), die Skalierungen erzeugen.

Synthese

Dehomogenisierung ist das lokale Verfahren, das affine Vertreter aus homogenen Polynomen gewinnt, indem die Homogenisierungskoordinate festgelegt wird; es ermöglicht konkrete Rechnungen auf einer affinen Karte und opfert dabei die Punkte auf der Hyperfläche im Unendlichen.