L'application exp_p du fibré tangent T_pM en un point p d'une variété M (généralement riemannienne) vers M qui envoie un vecteur tangent v sur l'extrémité γ_v(1) de la géodésique γ_v de vitesse initiale v, définie sur le domaine maximal où ces géodésiques existent.

Principe

Le flot géodésique linéarise les directions infinitésimales : l'application exponentielle transforme un mouvement « droit » (géodésique) dans l'espace tangent linéaire en mouvement sur la variété, fournissant un difféomorphisme local d'un voisinage de 0 dans T_pM vers un voisinage normal de p.

Démonstration

Dans R^n l'application exponentielle en tout point est l'identification affine exp_p(v)=p+v (difféomorphisme global) ; sur la sphère S^n exp_p envoie un vecteur tangent radial vers le point obtenu en suivant la géodésique grand cercle pendant un temps unité, les points conjugués limitant l'injectivité globale.

Mauvaise application

Supposer que exp_p est définie globalement et injective pour toute variété ; en général elle n'est que localement définie/difféomorphe près de 0 et peut cesser d'être injective en raison de points conjugués ou du lieu de coupure.

Conséquence

L'application exponentielle fournit des coordonnées normales, relie la distance riemannienne aux normes des vecteurs tangents et est centrale pour de nombreuses constructions (complétude géodésique, théorèmes de comparaison, définition locale du logarithme riemannien).

Inversion

Les portions localement inversibles de exp_p admettent une inverse locale log_p qui renvoie les points proches de la variété vers des vecteurs tangents ; globalement une telle inverse peut ne pas exister et la topologie de M complique l'inversion.

Limite

Nécessite une connexion (en géométrie riemannienne la connexion de Levi-Civita) pour définir les géodésiques ; en l'absence d'une connexion affine choisie ou sur des variétés incomplètes, le domaine de l'application exponentielle est restreint ou indéfini.

Tension sémantique

Souvent confondue avec l'exponentielle matricielle ou l'exponentielle de groupes de Lie qui envoie éléments d'algèbres en éléments de groupes ; l'exponentielle de variété est une construction géodésique qui coïncide avec l'exponentielle de Lie seulement dans le cas particulier des groupes de Lie munis d'une connexion bi-invariante.

Synthèse

L'application exponentielle transforme des vecteurs tangents en points atteints par des géodésiques et constitue le lien principal entre le modèle tangent linéaire et la variété non linéaire, permettant coordonnées normales, géométrie de comparaison et la définition du logarithme local.