La aplicación exp_p desde el espacio tangente T_pM en un punto p de una variedad M (típicamente riemanniana) hacia M que envía un vector tangente v al extremo γ_v(1) de la geodésica γ_v con velocidad inicial v, definida en el dominio máximo donde existen dichas geodésicas.

Principio

El flujo geodésico linealiza direcciones infinitesimales: la aplicación exponencial traduce el movimiento 'recto' (geodésico) en el espacio tangente lineal en movimiento sobre la variedad, proporcionando un difeomorfismo local entre una vecindad de 0 en T_pM y una vecindad normal de p.

Demostración

En el espacio euclidiano R^n la exponencial en cualquier punto es la identificación afín exp_p(v)=p+v (difeomorfismo global); en la esfera S^n exp_p envía un vector tangente radial al punto obtenido al seguir la geodésica de grancírculo durante tiempo unidad, y los puntos conjugados limitan la inyectividad global.

Aplicación incorrecta

Suponer que exp_p está definida globalmente e inyectiva en variedades arbitrarias; en general sólo está definida localmente/difeomórficamente cerca de 0 y puede dejar de ser inyectiva por puntos conjugados o por el corte-locus.

Consecuencia

La aplicación exponencial proporciona coordenadas normales, relaciona la distancia riemanniana con las longitudes de vectores tangentes y es central en construcciones como la completitud geodésica, teoremas de comparación y la definición local del logaritmo riemanniano.

Inversión

Las porciones localmente invertibles de exp_p admiten una inversa local log_p que devuelve puntos cercanos de la variedad a vectores tangentes; globalmente esa inversa puede no existir y la topología de M complica la inversión.

Límite

Requiere una conexión (en geometría riemanniana la conexión de Levi-Civita) para definir geodésicas; sin una conexión afín elegida o en variedades incompletas, el dominio de la exponencial está restringido o no está definido.

Tensión semántica

Se confunde frecuentemente con la exponencial de matrices o de grupos de Lie, que envía elementos del álgebra al grupo; la exponencial de variedad es una construcción geodésica geométrica que coincide con la exponencial de Lie sólo en el caso especial de grupos de Lie con conexión bi-invariante.

Síntesis

La aplicación exponencial convierte vectores tangentes en puntos alcanzados por geodésicas y constituye el vínculo principal entre el modelo tangente lineal y la variedad no lineal, permitiendo coordenadas normales, geometría de comparación y el logaritmo local.