Die Abbildung exp_p vom Tangentialraum T_pM an einem Punkt p einer (typischerweise Riemannschen) Mannigfaltigkeit M in M, die einen Tangentialvektor v auf den Endpunkt γ_v(1) der Geodäte γ_v mit Anfangsgeschwindigkeit v schickt, definiert auf dem maximalen Gebiet, auf dem diese Geodäten existieren.

Prinzip

Geodätischer Fluss linearisiert infinitesimale Richtungen: die Exponentialabbildung übersetzt geradlinige (geodätische) Bewegung im linearen Tangentialraum in Bewegung auf der Mannigfaltigkeit und liefert ein lokales Diffeomorphismus von einer Umgebung von 0 in T_pM auf eine normale Umgebung von p.

Demonstration

Im euklidischen R^n ist die Exponentialabbildung an jedem Punkt die affine Identifikation exp_p(v)=p+v (globaler Diffeomorphismus); auf der Sphäre S^n bildet exp_p einen radialen Tangentialvektor auf den Punkt ab, der durch das Folgen der Großkreisgeodäte für Zeit 1 entsteht, wobei konjugierte Punkte die globale Injektivität einschränken.

Fehlanwendung

Zu glauben, exp_p sei global definiert und injektiv für beliebige Mannigfaltigkeiten; in der Regel ist sie nur lokal in der Nähe von 0 definiert/diffeomorph und kann wegen konjugierter Punkte oder des Schnitt-Lokus nicht injektiv sein.

Konsequenz

Die Exponentialabbildung liefert normale Koordinaten, verbindet riemannsche Abstände mit Längen von Tangentialvektoren und ist zentral für viele Konstruktionen (geodätische Vollständigkeit, Vergleichssätze, lokale Definition des riemannschen Logarithmus).

Umkehrung

Lokal invertierbare Teile von exp_p besitzen eine lokale Umkehrung log_p, die nahe Punkte der Mannigfaltigkeit auf Tangentialvektoren zurückführt; global existiert eine solche Umkehrung meist nicht, und die Topologie von M erschwert die Inversion.

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine Verbindung (in Riemannscher Geometrie die Levi-Civita-Verbindung) zur Definition von Geodäten; ohne eine gewählte affine Verbindung oder auf unvollständigen Mannigfaltigkeiten ist der Definitionsbereich der Exponentialabbildung eingeschränkt oder undefiniert.

Semantische Spannung

Wird häufig mit der Matrix- oder Liegruppen-Exponentialfunktion verwechselt, die Algebraelemente auf Gruppenelemente abbildet; die Mannigfaltigkeitsexponentielle ist eine geometrische geodätische Konstruktion, die nur im speziellen Fall von Liegruppen mit bi-invarianter Verbindung mit der Lie-Exponentialfunktion zusammenfällt.

Synthese

Die Exponentialabbildung wandelt Tangentialvektoren in durch Geodäten erreichbare Punkte um und bildet die zentrale Brücke zwischen dem linearen Tangentialmodell und der nichtlinearen Mannigfaltigkeit, was lokale Koordinaten, Vergleichsgeometrie und die (lokale) Logarithmusabbildung ermöglicht.