Un point d'un espace topologique ou géométrique dont un voisinage est homéomorphe (ou isométrique dans le cas de cônes métriques) au cône sur un espace de base ; c'est une singularité conique localisée où la courbure ou la topologie se concentre à l'apex.

Principe

Modéliser la structure locale comme le produit d'un espace de base avec une coordonnée radiale en écrasant la base au rayon zéro en un seul sommet ; le point conique capte un comportement singulier homogène selon les directions angulaires.

Démonstration

L'apex du cône métrique sur un cercle donne un point conique en 2D avec un angle total différent de 2π ; en géométrie algébrique, un point double ordinaire peut être topologiquement un cône sur une courbe projective, produisant une singularité conique au sommet.

Mauvaise application

Qualifier de point conique tout point isolé non lisse sans vérifier l'existence d'un voisinage effectivement conique ; ou supposer une géométrie de cône métrique (homogénéité radiale) alors que le modèle local n'est que topologiquement semblable au cône.

Conséquence

Reconnaitre un point conique permet d'utiliser le calcul sur cônes, des coordonnées adaptées et l'analyse de la courbure singulière ou de l'holonomie ; cela informe les théorèmes d'indice et le comportement spectral sensible à l'angle du cône ou à la topologie de la base.

Inversion

L'inverse est un point lisse dont les voisinages sont des boules euclidiennes plutôt que des cônes ; l'inversion supprime le défaut angulaire concentré et rétablit la structure différentielle lisse ordinaire.

Limite

S'applique lorsqu'un voisinage est (topologiquement ou métriquement) un cône sur une base bien définie ; exclut les singularités en cuspide, les points de branchement avec d'autres modèles locaux et l'accumulation de points coniques qui détruit la conicité isolée.

Tension sémantique

Tension entre points coniques topologiques (voisinages homéomorphes) et points coniques métriques (structure radiale isométrique) ; certaines singularités sont coniques topologiquement mais n'ont pas la métrique radiale précise nécessaire aux techniques analytiques sur cônes.

Synthèse

Un point conique est un apex isolé dont les voisinages locaux se réduisent à un cône sur une base, concentrant un défaut angulaire ou topologique en un point unique et constituant un modèle local canonique pour l'étude géométrique et analytique.