Un punto en un espacio topológico o geométrico cuyo vecindario es homeomorfo (o isométrico en conos métricos) a un cono sobre algún espacio base; es una singularidad cónica localizada donde la curvatura o la topología se concentran en el vértice.

Principio

Modelar la estructura local tomando el producto del espacio base con una coordenada radial y colapsando la base en radio cero a un único vértice; el punto cónico captura un comportamiento singular homogéneo en las direcciones angulares.

Demostración

El vértice del cono métrico sobre una circunferencia produce un punto cónico en 2D con ángulo total distinto de 2π; en geometría algebraica, un punto doble ordinario puede ser topológicamente un cono sobre una curva proyectiva, dando una singularidad cónica en el vértice.

Aplicación incorrecta

Denominar punto cónico a cualquier punto aislado no suave sin verificar la existencia de un vecindario realmente cónico; o asumir geometría de cono métrico (homogeneidad radial) cuando el modelo local solo se parece topológicamente a un cono.

Consecuencia

Reconocer un punto cónico permite usar cálculo en conos, coordenadas adaptadas y análisis de curvatura singular u holonomía; informa teoremas de índice y comportamiento espectral sensibles al ángulo del cono o a la topología de la base.

Inversión

El reverso es un punto suave cuyos vecindarios son bolas euclidianas en lugar de conos; invertir elimina el defecto angular concentrado y restaura la estructura diferencial suave habitual.

Límite

Se aplica cuando un vecindario es (topológica o métricamente) un cono sobre una base bien definida; excluye singularidades en cuspide, puntos de rama con modelos locales distintos y la acumulación de puntos cónicos que destruye la conicidad aislada.

Tensión semántica

Existe tensión entre puntos cónicos topológicos (vecindarios homeomorfos) y puntos cónicos métricos (estructura radial isométrica); algunas singularidades son cónicas topológicamente pero carecen de la métrica radial precisa necesaria para técnicas analíticas en conos.

Síntesis

Un punto cónico es un vértice aislado cuyos vecindarios locales colapsan a un cono sobre una base, concentrando un defecto angular o topológico en un solo punto y sirviendo como modelo local canónico para el estudio geométrico y analítico.