Ein Punkt in einem topologischen oder geometrischen Raum, dessen Umgebung homöomorph (oder im metrischen Fall isometrisch) zu einem Kegel über einem Basisraum ist; er ist eine lokalisierte konische Singularität, in der Krümmung oder Topologie am Scheitelpunkt konzentriert ist.

Prinzip

Die lokale Struktur modellieren durch Produkt des Basisraums mit einer radialen Koordinate und Kollabieren der Basis bei Radius Null zu einer einzigen Spitze; der Kegelpunkt erfasst singuläres Verhalten, das in den Winkelrichtungen homogen ist.

Demonstration

Die Spitze des metrischen Kegels über einem Kreis erzeugt einen 2D-Kegelpunkt mit Gesamtwinkel ≠ 2π; in der algebraischen Geometrie kann ein gewöhnlicher Doppelknoten topologisch ein Kegel über einer projektiven Kurve sein und eine Kegelsingularität am Scheitel erzeugen.

Fehlanwendung

Jeden isolierten nicht-glatten Punkt als Kegelpunkt zu bezeichnen, ohne ein echtes konisches Umfeld zu prüfen; oder metrische Kegelkonstruktionen anzuwenden, wo das lokale Modell nur topologisch einem Kegel ähnelt.

Konsequenz

Die Erkennung eines Kegelpunkts erlaubt die Anwendung von Kegel-Kalkül, angepassten Koordinaten und die Analyse singulärer Krümmung oder Holonomie; sie beeinflusst Indextheoreme und spektrales Verhalten, das vom Kegelwinkel oder der Basistopologie abhängt.

Umkehrung

Das Gegenteil ist ein glatter Punkt, dessen Umgebungen euklidische Kugeln sind statt Kegel; die Umkehr entfernt den konzentrierten Winkelfehler und stellt die übliche glatte differentielle Struktur wieder her.

Abgrenzung

Gilt, wenn eine Umgebung (topologisch oder metrisch) ein Kegel über einer wohldefinierten Basis ist; schließt Kuspensingularitäten, Verzweigungspunkte mit anderen lokalen Modellen und die Akkumulation von Kegelpunkten aus, die die isolierte konische Struktur zerstört.

Semantische Spannung

Spannung zwischen topologischen Kegelpunkten (homöomorphe Umgebungen) und metrischen Kegelpunkten (isometrische radiale Struktur); manche Singularitäten sind topologisch konisch, besitzen aber nicht die genaue radiale Metrik für analytische Kegelmethoden.

Synthese

Ein Kegelpunkt ist eine isolierte Spitze, deren lokale Umgebungen zu einem Kegel über einer Basis kollabieren, wodurch ein Winkel- oder topologischer Fehler in einem Punkt konzentriert wird und ein kanonisches lokales Modell für geometrische und analytische Studien entsteht.