Un point de coupure local est un point d'un espace topologique qui admet un voisinage dont le retrait (c'est-à-dire la suppression du point dans ce voisinage) déconnecte ce voisinage en deux composantes ou plus ; il traduit une séparation à petite échelle plutôt que l'effet du retrait dans l'espace entier.

Principe

Détecter un embranchement ou une séparation localisée : un point de coupure local indique que la topologie immédiate autour du point n'est pas localement connexe après suppression du point, même si l'espace global peut rester connexe.

Démonstration

Dans une variété de dimension 1 comme un intervalle ouvert, tout point intérieur est un point de coupure local car un voisinage suffisamment petit privé de ce point se scinde en deux intervalles. En revanche, dans une variété de dimension 2 les points intérieurs ne sont pas des points de coupure locaux. Dans un graphe vu comme un complexe CW de dimension 1, les sommets de degré ≥2 sont des points de coupure locaux.

Mauvaise application

Supposer qu'un point de coupure local est automatiquement un point de coupure global, ou croire que l'existence d'un voisinage séparant implique une déconnexion globale ; inversement, confondre l'absence de points de coupure locaux avec la simplicité topologique globale.

Conséquence

Repérer les points de coupure locaux révèle des embranchements, des défauts de connexité locale et des lieux possibles où des arguments local-vers-global échouent ; ils interviennent dans des théorèmes de décomposition et dans l'analyse des bouts et des scissions de type JSJ en basse dimension.

Inversion

Un point localement non séparant admet des voisinages arbitrairement petits dont les voisinages poncturés restent connexes ; de tels points assurent une connexité locale et une stabilité vis-à-vis de petites perturbations.

Limite

La notion a du sens dans des espaces topologiques généraux mais sa portée est maximale dans des espaces localement compacts, Hausdorff ou de type variété ; dans des espaces totalement disconnexes ou discrets la structure des voisinages peut rendre le concept trivial.

Tension sémantique

Conflit avec le terme « point de coupure » (global) et avec les notions de connexité locale ou de points faiblement séparants en théorie des continuums ; il faut préciser l'échelle (taille du voisinage) et si la séparation se réclame pour l'espace entier ou seulement localement.

Synthèse

Un point de coupure local signale un point dont la suppression fragmente la topologie locale : il met en évidence un embranchement ou une séparation à petite échelle distincte de l'articulation globale et informe la compréhension de la structure locale et de la propagation des défauts.