Un punto de separación local es un punto en un espacio topológico que admite un vecindario cuya eliminación (es decir, quitar el punto de ese vecindario) desconecta dicho vecindario en dos o más componentes; captura separación a pequeña escala en lugar de la eliminación del espacio entero.

Principio

Detectar ramificación o separación localizada: un punto de separación local indica que la topología inmediata alrededor del punto no es localmente conexa tras eliminar el punto, aunque el espacio global pueda seguir siendo conexo.

Demostración

En una variedad unidimensional como un intervalo abierto, todo punto interior es un punto de separación local porque un vecindario suficientemente pequeño menos el punto se divide en dos intervalos. En cambio, en una variedad de dimensión 2 los puntos interiores no son puntos de separación locales. En un grafo considerado como complejo CW de dimensión 1, los vértices de grado ≥2 son puntos de separación locales.

Aplicación incorrecta

Suponer que un punto de separación local es automáticamente punto de separación global o creer que la existencia de algún vecindario separador implica desconexión global; inversamente, confundir la ausencia de puntos de separación locales con simplicidad topológica global.

Consecuencia

Identificar puntos de separación locales revela ramificaciones, fallos de conexidad local y posibles lugares donde fallan argumentos local-a-global; intervienen en teoremas de descomposición y en el análisis de extremos y escisiones tipo JSJ en topología de baja dimensión.

Inversión

Un punto localmente no separador tiene vecindarios arbitrariamente pequeños cuyos vecindarios punteados permanecen conexos; tales puntos apoyan la conexidad local y la estabilidad frente a pequeñas perturbaciones.

Límite

La noción tiene sentido en espacios topológicos generales pero su importancia es máxima en espacios localmente compactos, Hausdorff o de tipo variedad; en espacios totalmente desconectados o discretos la estructura de vecindarios puede trivializar el concepto.

Tensión semántica

Compite con 'punto de separación' (global) y con nociones de conexidad local y de puntos débilmente separadores en la teoría de continuum; hay que especificar la escala (tamaño del vecindario) y si la separación se exige para todo el espacio o solo localmente.

Síntesis

Un punto de separación local señala un punto cuya supresión fragmenta la topología local: pone de manifiesto ramificación o separación a pequeña escala distinta de la articulación global e informa sobre la estructura local y la propagación de defectos.