Ein lokaler Trennpunkt ist ein Punkt in einem topologischen Raum, der ein Umfeld besitzt, dessen Entfernen (d. h. das Weglassen des Punktes in diesem Umfeld) dieses Umfeld in zwei oder mehr Komponenten zerlegt; er erfasst Trennung auf kleiner Skala, nicht notwendigerweise im gesamten Raum.

Prinzip

Erkenne lokalisiertes Verzweigen oder Trennen: ein lokaler Trennpunkt zeigt an, dass die unmittelbare Topologie um den Punkt nach Wegnahme des Punktes nicht mehr lokal zusammenhängend ist, selbst wenn der Gesamtraum zusammenhängend bleibt.

Demonstration

In einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit wie einem offenen Intervall ist jeder innere Punkt ein lokaler Trennpunkt, denn ein hinreichend kleines Umfeld ohne diesen Punkt zerfällt in zwei Intervalle. In einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit sind Innenpunkte dagegen keine lokalen Trennpunkte. In einem Graphen als eindimensionalem CW-Komplex sind Knoten mit Grad ≥2 lokale Trennpunkte.

Fehlanwendung

Anzunehmen, jeder lokale Trennpunkt sei ein globaler Trennpunkt, oder zu glauben, das Vorhandensein eines trennenden Umfelds impliziere globale Trennung; umgekehrt die Abwesenheit lokaler Trennpunkte mit globaler Topologiegleichheit zu verwechseln.

Konsequenz

Das Auffinden lokaler Trennpunkte legt Verzweigungen, Ausfälle lokaler Zusammenhangseigenschaften und mögliche Stellen offen, an denen lokal-zu-global-Argumente versagen; sie tauchen in Zerlegungssätzen und bei der Analyse von Enden und JSJ-ähnlichen Zerlegungen in Niederdimensionaler Topologie auf.

Umkehrung

Ein lokal nicht trennender Punkt besitzt beliebig kleine Umgebungen, deren punktentfernte Umgebungen zusammenhängend bleiben; solche Punkte stützen lokale Zusammenhangseigenschaften und Stabilität gegen kleine Störungen.

Abgrenzung

Der Begriff ist in allgemeinen topologischen Räumen sinnvoll, seine Bedeutung ist jedoch am größten in lokal kompakten, Hausdorffschen oder mannigfaltigkeitsähnlichen Umgebungen; in total zerlegten oder diskreten Räumen kann die Umgebungsstruktur das Konzept trivialisieren.

Semantische Spannung

Spannung besteht gegenüber dem globalen 'Trennpunkt' und gegenüber Begriffen der lokalen Zusammenhangseigenschaft oder schwach trennenden Punkten in der Kontinuumstheorie; es ist wichtig, die Skala (Umgebungsgröße) und die Frage zu klären, ob die Trennung global oder nur lokal verlangt ist.

Synthese

Ein lokaler Trennpunkt kennzeichnet einen Punkt, dessen Entfernung die lokale Topologie zersplittert: er macht Verzweigungs- oder Trennphänomene auf kleiner Skala sichtbar, unterscheidet sich von globalen Artikulationspunkten und informiert über lokale Struktur und Fehlerfortpflanzung.