Pour un point base donné d'une variété riemannienne (ou, plus généralement, d'un espace métrique géodésique), le lieu de coupure est l'ensemble des points où les géodésiques minimisantes issues du point base cessent d'être uniques ou ne se prolongent plus comme minimisantes ; on peut voir cela comme le bord du domaine maximal où l'application exponentielle au point base est injective et préserve les distances.

Principe

Organiser les singularités de la fonction distance au point base par l'échec d'unicité ou de prolongement des géodésiques minimisantes ; le lieu de coupure signale où le modèle local fourni par l'application exponentielle perd son injectivité ou sa propriété de minimisation.

Démonstration

Sur la sphère ronde S^2, le lieu de coupure du pôle nord est l'antipode unique (le pôle sud) : les géodésiques issues du nord restent minimisantes jusqu'à cet antipode où plusieurs géodésiques minimisantes se rencontrent. Sur une surface convexe présentant une arête, le lieu de coupure se présente comme un graphe traçant le lieu de fusion des plus courts chemins.

Mauvaise application

Confondre points conjugués et lieu de coupure ou supposer que le lieu de coupure est toujours une sous-variété lisse ; les points conjugués peuvent appartenir au lieu de coupure mais ce dernier enregistre aussi la réunion de minimisantes distinctes et peut être stratifié ou singulier.

Conséquence

La connaissance du lieu de coupure indique où la fonction distance cesse d'être lisse, influence les fronts d'onde et la propagation des géodésiques, et encode des informations géométriques et topologiques globales ; de nombreuses constructions analytiques et géométriques doivent traiter le lieu de coupure explicitement.

Inversion

Le complément du lieu de coupure est la région d'injectivité de l'application exponentielle au point base : là les géodésiques minimisantes sont uniques et la fonction distance est lisse, modélisée par les coordonnées exponentielles.

Limite

Cette notion suppose une structure géodésique (métrique riemannienne ou espace de longueur) et un point base choisi ; dans des espaces discrets ou non géodésiques, la notion devient inapplicable ou nécessite une réinterprétation (par exemple l'axe médial joue un rôle apparenté mais distinct).

Tension sémantique

S'oppose à des notions comme le lieu conjugué, l'axe médial et aux variantes du lieu de coupure dans d'autres catégories géométriques (espaces d'Alexandrov, espaces de longueur) ; les différences portent sur unicité versus dégénérescence infinitésimale et sur l'équivalence de prolongement des géodésiques.

Synthèse

Le lieu de coupure rassemble les points où le modèle local d'exponentielle/distance fondé sur un point base se brise : il concentre les obstructions globales aux géodésiques minimisantes uniques et identifie l'ensemble singulier de la fonction distance et des phénomènes géométriques associés.