Für einen festen Ausgangspunkt in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner in einem geodätischen metrischen Raum) ist das Cut-Locus die Menge der Punkte, an denen minimierende Geodäten vom Ausgangspunkt aus entweder nicht mehr eindeutig sind oder nicht mehr als Minimierer fortgesetzt werden können; äquivalent ist es der Rand des maximalen Bereichs, in dem die Exponentialabbildung am Ausgangspunkt injektiv und distanztreu ist.

Prinzip

Singularitäten der Distanzfunktion vom Ausgangspunkt durch das Versagen von Eindeutigkeit oder Fortsetzbarkeit minimierender Geodäten ordnen; das Cut-Locus markiert den Ort, an dem das lokale Exponentialmodell seine Injektivität oder Minimierungseigenschaft verliert.

Demonstration

Auf der 2-Sphäre mit Standardmetrik ist das Cut-Locus eines Punktes sein Antipodenpunkt: Geodäten bleiben bis zu diesem Punkt minimierend, an dem mehrere minimierende Geodäten zusammentreffen. Auf einer konvexen Fläche mit Grat bildet das Cut-Locus ein Graphenbild, das die Stellen angibt, an denen kürzeste Wege zusammenlaufen.

Fehlanwendung

Konjugierte Punkte mit dem Cut-Locus gleichsetzen oder davon ausgehen, das Cut-Locus sei stets eine glatte Untermannigfaltigkeit; konjugierte Punkte können im Cut-Locus liegen, das Cut-Locus enthält jedoch zusätzlich das Zusammentreffen verschiedener Minimierer und kann geschichtet oder singulär sein.

Konsequenz

Die Bestimmung des Cut-Locus zeigt, wo die Distanzfunktion nicht differenzierbar ist, beeinflusst Wellenfronten und Geodätenverhalten und enthält globale geometrische und topologische Informationen; viele analytische und geometrische Konstruktionen müssen das Cut-Locus speziell behandeln.

Umkehrung

Das Komplement des Cut-Locus ist die Injektivitätsregion der Exponentialabbildung am Ausgangspunkt: dort sind minimierende Geodäten eindeutig und die Distanzfunktion ist glatt und durch Exponentialkoordinaten modellierbar.

Abgrenzung

Die Definition setzt eine geodätische Struktur (Riemannsche Metrik oder Längenraum) und einen gewählten Ausgangspunkt voraus; in diskreten oder nicht-geodätischen metrischen Räumen ist die Begrifflichkeit nicht direkt anwendbar oder muss neu interpretiert werden (z. B. erfüllt die medial Achse eine verwandte, aber unterschiedliche Rolle).

Semantische Spannung

Widersprüche mit Begriffen wie dem konjugierten Lokus, der medialen Achse und Varianten des Cut-Locus in anderen geometrischen Kategorien (Alexandrov-Räume, Längenräume); die Unterscheidungen beruhen auf Eindeutigkeit gegenüber infinitesimaler Degeneration und auf der Wahl der Fortsetzungsäquivalenz von Geodäten.

Synthese

Das Cut-Locus fasst die Endpunkte zusammen, an denen das lokale Exponential-/Distanzmodell vom Ausgangspunkt versagt: es dokumentiert die globalen Hindernisse für eindeutige minimierende Geodäten und identifiziert die singuläre Menge der Distanzfunktion und damit verbundene geometrische Phänomene.