Para un punto base fijado en una variedad riemanniana (o, más generalmente, en un espacio métrico geodésico), el locus de corte es el conjunto de puntos en los que las geodésicas minimizantes desde el punto base dejan de ser únicas o dejan de prolongarse como minimizadoras; equivalentemente, es la frontera del dominio maximal donde la aplicación exponencial en el punto base es inyectiva y preserva distancias.

Principio

Organizar las singularidades de la función distancia desde un punto base mediante el fallo de unicidad o de prolongación de geodésicas minimizantes; el locus de corte señala dónde el modelo local dado por la exponencial pierde inyectividad o la propiedad de minimización.

Demostración

En la esfera estándar S^2, el locus de corte del polo norte es el polo sur antipodal: las geodésicas desde el norte son minimizantes hasta ese antipodo donde se encuentran varias geodésicas minimizantes. En una superficie convexa con una arista, el locus de corte puede presentarse como un grafo que traza dónde se fusionan los caminos más cortos.

Aplicación incorrecta

Confundir puntos conjugados con el locus de corte o asumir que el locus de corte es siempre una subvariedad suave; los puntos conjugados pueden pertenecer al locus de corte, pero este último además registra el encuentro de minimizadores distintos y puede ser estratificado o singular.

Consecuencia

Conocer el locus de corte determina dónde la función distancia deja de ser suave, gobierna frentes de onda y propagación de geodésicas, y codifica información geométrica y topológica global; muchas construcciones analíticas y geométricas requieren tratar explícitamente el locus de corte.

Inversión

El complemento del locus de corte es la región de inyectividad de la aplicación exponencial desde el punto base: allí las geodésicas minimizantes son únicas y la función distancia es suave y está modelada por coordenadas exponenciales.

Límite

La definición presupone una estructura geodésica (métrica riemanniana o espacio de longitud) y un punto base elegido; en espacios discretos o no geodésicos la noción no se aplica directamente o debe reinterpretarse (por ejemplo, el eje medial cumple un papel relacionado pero distinto).

Tensión semántica

Compite con nociones como el lugar conjugado, el eje medial y variantes del locus de corte en otras categorías geométricas (espacios de Alexandrov, espacios de longitud); las distinciones recaen sobre unicidad frente a degeneración infinitesimal y sobre la elección de la equivalencia de prolongación de geodésicas.

Síntesis

El locus de corte reúne los puntos donde el modelo local exponencial/distancia desde un punto base se rompe: concentra las obstrucciones globales a geodésicas minimizantes únicas e identifica el conjunto singular de la función distancia y de los fenómenos geométricos asociados.