Une propriété de l'inclusion i:A→X (ou de la paire (X,A)) telle que toute homotopie H_t définie sur A peut être étendue en une homotopie ˜H_t sur X partant d'une application f:X→Y qui restreint sur A à l'homotopie donnée ; c'est aussi un critère de reconnaissance des cofibrations dans de nombreux cadres.

Principe

Contrôler les prolongements par des données locales de déformation : si A est plongé dans X comme une cofibration (ou un couple NDR), les homotopies sur A s'étendent à X car l'on peut épaissir A et pousser l'homotopie vers l'extérieur le long d'un cylindre ou d'une rétraction par déformation.

Démonstration

Dans les complexes CW, l'inclusion d'un sous-complexe A↪X possède la HEP : une homotopie sur A s'étend cellule par cellule à X en utilisant les applications d'attachement cellulaires et le fait que les cellules sont attachées par des cofibrations, permettant une induction sur les squelettes.

Mauvaise application

Supposer que toute inclusion de sous-espace a la HEP conduit à des prolongements faux (par exemple des plongements pathologiques en topologie pointée) ; confondre HEP avec la propriété de relèvement d'homotopie (HLP) des fibrations est une erreur fréquente.

Conséquence

Si une paire a la HEP, on peut construire des prolongements d'applications et d'homotopies, reconnaître des cofibrations, former des colimites homotopiques (homotopy pushouts) et appliquer des arguments obstructionnels pour étendre des structures par étapes.

Inversion

La situation duale est la propriété de relèvement d'homotopie (HLP) pour les fibrations, où les homotopies se relèvent le long d'une application plutôt que de s'étendre depuis un sous-espace ; ou plus simplement des inclusions qui empêchent l'extension, de sorte que des homotopies locales ne s'étendent pas globalement.

Limite

Concerne les inclusions de sous-espaces et les paires topologiques ; elle présuppose des catégories raisonnables (complexes CW, espaces compacts-générateurs, ou espaces où les cofibrations sont bien comportées) et exclut les applications arbitraires qui ne sont pas des inclusions ou les cadres sans cylindres pertinents.

Tension sémantique

La tension se situe entre HEP et HLP (extension versus relèvement), et entre l'idée intuitive que les sous-espaces étendent les homotopies et des contre-exemples en topologie pointée pathologique ; il faut distinguer les hypothèses de cofibration d'inclusions plus faibles.

Synthèse

La HEP identifie les inclusions qui permettent d'étendre les homotopies définies sur un sous-espace à l'espace entier ; en pratique elle caractérise les cofibrations et sous-tend les constructions inductives et obstructionnelles en théorie de l'homotopie.