Una propiedad de una inclusión i:A→X (o del par (X,A)) que dice que toda homotopía H_t definida sobre A puede extenderse a una homotopía ˜H_t sobre X, partiendo de cualquier mapa f:X→Y que restrinja a la homotopía dada en A; es también un criterio para reconocer cofibraciones en muchos contextos.

Principio

Controlar las extensiones mediante datos locales de deformación: si A está incluido en X como una cofibración (o par NDR), las homotopías en A admiten extensiones a X porque se puede engrosar A y empujar la homotopía hacia afuera a lo largo de un cilindro o una retracción por deformación.

Demostración

En complejos CW la inclusión de un subcomplejo A↪X tiene HEP: una homotopía en A se extiende célula por célula a X usando los mapas de adjunción de las células y el hecho de que las células se adjuntan por cofibraciones, permitiendo una inducción por esqueletos.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda inclusión de subespacio tiene HEP conduce a extensiones falsas (por ejemplo, incrustaciones patológicas en topologías puntuales malas); confundir HEP con la propiedad de elevación de homotopías (HLP) de fibraciones es otro error común.

Consecuencia

Si un par tiene HEP, se pueden construir extensiones de mapas y homotopías, identificar cofibraciones, formar empujes homotópicos y aplicar argumentos de teoría de obstrucciones para extender estructuras paso a paso.

Inversión

La situación dual es la propiedad de elevación de homotopías (HLP) para fibraciones, donde las homotopías se elevan a lo largo de un mapa en lugar de extenderse desde un subespacio; o sencillamente inclusiones que impiden la extensión, de modo que homotopías locales no pueden extenderse globalmente.

Límite

Se refiere a inclusiones de subespacios y pares topológicos; presupone categorías razonables (complejos CW, espacios compactamente generados o espacios donde las cofibraciones se comportan bien) y excluye mapas arbitrarios que no son inclusiones o marcos sin cilindros adecuados.

Tensión semántica

Hay tensión entre HEP y HLP (extensión frente a elevación), y entre la idea intuitiva de que los subespacios extienden homotopías y ejemplos contraintuitivos en topología puntual patológica; hay que distinguir hipótesis de cofibración de inclusiones más débiles.

Síntesis

HEP identifica las inclusiones que permiten extender homotopías definidas en un subespacio al espacio entero; en la práctica caracteriza cofibraciones y sustenta construcciones inductivas y de obstrucción en teoría de homotopías.