Eine Eigenschaft einer Einschließung i:A→X (oder des Paares (X,A)), wonach jede auf A definierte Homotopie H_t zu einer Homotopie ˜H_t auf X erweitert werden kann, beginnend von einer Abbildung f:X→Y, die auf A mit der gegebenen Homotopie übereinstimmt; äquivalent ein Erkennungsmerkmal für Cofibrationen in vielen Kategorien.

Prinzip

Erweiterungen werden durch lokale Deformationsdaten kontrolliert: sitzt A als Cofibration (oder NDR-Paar) in X, so lassen sich Homotopien auf A nach X ausdehnen, weil man A 'aufdicken' und die Homotopie entlang eines Zylinders oder einer Deformationsretraktion hinausschieben kann.

Demonstration

Bei CW-Komplexen hat die Inklusion eines Unterkomplexes A↪X die HEP: eine Homotopie auf A lässt sich zellweise auf X ausdehnen, wobei man sich an die Zell-Attachments und die Tatsache hält, dass Zellen durch Cofibrationen angefügt werden, und induktiv über die Skelette arbeitet.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede Unterraumeinschließung habe die HEP, führt zu falschen Erweiterungen (z. B. bei pathologischen Einbettungen in schlechten punktbezogenen Topologien); HEP mit der Homotopie-Hebeeigenschaft (HLP) für Faserungen zu verwechseln, ist ein häufiger Fehler.

Konsequenz

Hat ein Paar die HEP, so lassen sich Abbildungen und Homotopien erweitern, Cofibrationen erkennen, homotopie-kolimiten (homotopy pushouts) bilden und schrittweise obstruktions-theoretische Argumente zur Erweiterung von Strukturen anwenden.

Umkehrung

Das Duale ist die Homotopie-Hebe-Eigenschaft (HLP) bei Faserungen, bei der Homotopien entlang einer Abbildung gehoben werden, statt von einem Unterraum aus erweitert zu werden; oder schlicht Einschließungen, die Erweiterungen verhindern, sodass lokale Homotopien nicht global ausgedehnt werden können.

Abgrenzung

Betrifft Einschlüsse von Unterräumen und topologische Paare; setzt vernünftige Kategorien voraus (CW-Komplexe, kompakt-generierte Räume oder Räume mit gutem Verhalten der Cofibrationen) und schließt beliebige Abbildungen aus, die keine Einschlüsse sind oder Rahmen ohne geeignete Zylinder haben.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen HEP und HLP (Erweiterung versus Heben) sowie zwischen der intuitiven Vorstellung, dass Unterräume Homotopien erweitern, und Gegenbeispielen in der punktmengen-topologischen Pathologie; Cofibration-Annahmen sind hier entscheidend.

Synthese

HEP kennzeichnet Einschlüsse, die Homotopien, die auf einem Unterraum definiert sind, auf den gesamten Raum erweiterbar machen; praktisch charakterisiert sie Cofibrationen und bildet die Grundlage induktiver und obstruktionstheoretischer Konstruktionen in der Homotopietheorie.