Définition
Invariante cardinale : la densité d(X) est la plus petite cardinalité d'un sous-ensemble dense de l'espace topologique X.
Principe
Principe
Un sous-ensemble dense rencontre tout ouvert non vide ; la densité mesure combien de points sont nécessaires au minimum pour approcher l'espace entier par adhérence.
Démonstration
Démonstration
Les rationnels Q forment un sous-ensemble dense dénombrable de R, donc d(R)=ℵ0 ; un espace discret a une densité égale à sa cardinalité car le seul dense est l'espace entier.
Mauvaise application
Mauvaise application
Confondre la densité avec le poids ou penser qu'un ensemble dense doit être ouvert sont des erreurs ; la densité concerne l'adhérence d'un sous-ensemble, non la génération de la topologie par une base.
Conséquence
Conséquence
La densité dénombrable est la séparabilité ; une faible densité facilite des constructions dénombrables et des résultats sur les fonctions séparables, tandis qu'une densité élevée exige de grands ensembles générateurs ou de nombreux paramètres.
Inversion
Inversion
Un espace de densité élevée ne possède pas de petits ensembles denses ; l'inversion met l'accent sur les espaces pour lesquels aucun petit sous-ensemble n'a une adhérence totale et pour lesquels l'approximation séquentielle peut échouer.
Limite
Limite
La densité est un invariant global des espaces topologiques et ne rend pas compte des tailles de bases locales (caractère) ni des notions de densité en théorie de la mesure ; c'est une notion d'ensemble, pas de mesure.
Tension sémantique
Tension sémantique
La densité est parfois confondue avec la séparabilité (existence d'une densité dénombrable) ou avec le poids ; la tension porte sur la différence entre ensembles denses minimaux et bases minimales qui génèrent les ouverts.
Synthèse
Synthèse
La densité quantifie le nombre minimal de points dont l'adhérence est tout l'espace : une mesure globale de la capacité des points à approcher la topologie, distincte des invariants liés aux bases.