Definición
Un invariante cardinal: la densidad d(X) es la cardinalidad mínima de un subconjunto denso del espacio topológico X.
Principio
Principio
Un subconjunto denso corta todo abierto no vacío; la densidad mide cuántos puntos son necesarios como mínimo para aproximar el espacio entero por cierre.
Demostración
Demostración
Los racionales Q son un subconjunto denso numerable de R, por lo que d(R)=ℵ0; un espacio discreto tiene densidad igual a su cardinalidad porque el único denso es el espacio completo.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir densidad con peso o suponer que un conjunto denso debe ser abierto es un uso indebido; la densidad se refiere al cierre de un subconjunto, no a la generación de la topología por una base.
Consecuencia
Consecuencia
Densidad numerable equivale a separabilidad; baja densidad facilita construcciones enumerables y resultados sobre funciones separables, mientras que alta densidad indica necesidad de conjuntos generadores grandes o muchos parámetros.
Inversión
Inversión
Un espacio de alta densidad carece de subconjuntos densos pequeños; la inversión enfatiza los espacios en los que ningún subconjunto pequeño tiene cierre completo y la aproximación secuencial puede fallar.
Límite
Límite
La densidad es un invariante global de los espacios topológicos y no refleja tamaños de bases locales (carácter) ni nociones de densidad en teoría de la medida; es una noción de conjunto, no de medida.
Tensión semántica
Tensión semántica
La densidad a veces se confunde con la separabilidad (existencia de densidad numerable) o con el peso; la tensión está entre subconjuntos densos mínimos y bases mínimas que generan los abiertos.
Síntesis
Síntesis
La densidad cuantifica el número mínimo de puntos cuya clausura es todo el espacio: una medida global de cuán 'densamente' los puntos pueden aproximar la topología, distinta de los invariantes relacionados con bases.