Ein kardinales Invariante: Die Dichte d(X) ist die kleinste Kardinalität einer dichten Teilmenge des topologischen Raumes X.

Prinzip

Eine dichte Teilmenge schneidet jede nichtleere offene Menge; die Dichte misst, wie viele Punkte minimal benötigt werden, um den gesamten Raum durch Abschluss zu approximieren.

Demonstration

Die rationalen Zahlen ℚ sind eine abzählbare dichte Teilmenge von ℝ, also d(ℝ)=ℵ0; ein diskreter Raum hat Dichte gleich seiner Kardinalität, da die einzige dichte Menge der ganze Raum ist.

Fehlanwendung

Die Dichte mit dem Gewicht zu verwechseln oder anzunehmen, eine dichte Menge müsse offen sein, ist ein Fehlgebrauch; Dichte betrifft den Abschluss einer Teilmenge, nicht die Erzeugung der Topologie durch eine Basis.

Konsequenz

Abzählbare Dichte entspricht Separabilität; geringe Dichte ermöglicht abzählbare Konstruktionen und Ergebnisse zu separablen Funktionen, hohe Dichte erfordert große erzeugende Mengen oder viele Parameter.

Umkehrung

Ein Raum großer Dichte besitzt keine kleinen dichten Teilmengen; die Umkehrung betont Räume, in denen kein kleines Teilset dichten Abschluss hat und sequenzielle Approximation versagen kann.

Abgrenzung

Dichte ist ein globales Invariante topologischer Räume und erfasst nicht lokale Basisgrößen (Charakter) noch maßtheoretische Dichtebegriffe; es ist eine mengen-theoretische, keine maßtheoretische Größe.

Semantische Spannung

Dichte wird manchmal mit Separabilität (existenz abzählbarer Dichte) oder mit Gewicht verwechselt; die Spannung liegt zwischen minimalen dichten Teilmengen und minimalen Basen, die die Opens erzeugen.

Synthese

Dichte misst die minimale Anzahl von Punkten, deren Abschluss der ganze Raum ist: ein globales Maß dafür, wie "dicht" Punkte den Raum approximieren können, und unterscheidet sich von basisbezogenen Invarianten.