Un espace topologique est totalement déconnecté si toutes ses composantes connexes sont des singletons ; autrement dit, l'espace ne contient aucune partie connexe non triviale comprenant plus d'un point.

Principe

L'idée organisatrice est la séparation à des échelles arbitrairement petites : deux points distincts ne peuvent pas être reliés par une partie connexe non triviale, de sorte que la connexité se réduit à des singletons et que la topologie admet de nombreuses séparations clopen entre points ou petites parties.

Démonstration

L'ensemble de Cantor (avec la topologie induite par la droite réelle) est totalement déconnecté : il ne contient aucun intervalle et toute partie connexe est un point, tout en étant parfait et non dénombrable.

Mauvaise application

Confondre tout espace déconnecté avec un espace totalement déconnecté est erroné : un espace qui possède exactement deux composantes connexes est déconnecté mais n'est pas totalement déconnecté à moins que chaque composante soit un singleton.

Conséquence

Si un espace est totalement déconnecté, les images continues vers des espaces connexes non triviaux sont fortement contraintes (les images des composantes connexes sont des singletons) ; des constructions algébriques (comme les complétions profinies) et des décompositions combinatoires exploitent souvent l'abondance de parties clopen.

Inversion

Un espace connexe (par exemple un intervalle réel) est l'inverse : il possède des sous-ensembles connexes non triviaux et ne peut pas être partitionné en parties clopen disjointes non vides.

Limite

La déconnexion totale est une propriété purement topologique relative à la topologie donnée ; elle n'implique pas la zéro-dimensionnalité (existence d'une base de parties clopen) et n'exclut pas des exemples parfaits ou non dénombrables.

Tension sémantique

La tension sémantique vient de la proximité avec la zéro-dimensionnalité (qui exige une base de clopen) et la notion de totalité séparée (plus forte : deux points quelconques peuvent être séparés par des clopen) ; ces notions sont souvent confondues mais diffèrent en force.

Synthèse

La déconnexion totale exprime que la connexité se réduit aux points : l'espace admet de nombreuses séparations de sorte que les composantes connexes ne contiennent pas de structure interne au-delà des singletons, tout en pouvant présenter un comportement global complexe (par exemple des ensembles parfaits non dénombrables).