Ein topologischer Raum ist total getrennt, wenn alle seine zusammenhängenden Komponenten Einslemente sind; das heißt, der Raum enthält keine nichttrivialen zusammenhängenden Teilmengen mit mehr als einem Punkt.

Prinzip

Die ordnende Idee ist Trennung auf beliebig kleinen Skalen: Verschiedene Punkte können nicht durch eine nichttriviale zusammenhängende Teilmenge verbunden werden, sodass Zusammenhängigkeit auf Einslemente zusammenbricht und viele clopen Trennungen existieren.

Demonstration

Die Cantor-Menge (mit der Teilraumtopologie der reellen Geraden) ist total getrennt: sie enthält kein Intervall und jede zusammenhängende Teilmenge ist ein einzelner Punkt, ist aber dennoch perfekt und überabzählbar.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jeder getrennte (disconnected) Raum sei total getrennt ist falsch: Ein Raum mit genau zwei zusammenhängenden Komponenten ist getrennt, aber nicht total getrennt, sofern nicht jede Komponente ein Einslement ist.

Konsequenz

In total getrennten Räumen sind stetige Abbildungen in nichttriviale zusammenhängende Räume stark eingeschränkt (Bilder zusammenhängender Komponenten sind Einslemente); algebraische Konstruktionen und Zerlegungen nutzen häufig das Vorkommen zahlreicher clopen Teilmengen.

Umkehrung

Ein zusammenhängender Raum (beispielsweise ein reelles Intervall) steht im Gegensatz dazu: er besitzt nichttriviale zusammenhängende Teilmengen und lässt keine Zerlegung in disjunkte nichtleere clopen Teile zu.

Abgrenzung

Total getrennt sein ist eine rein topologische Eigenschaft bezüglich der gegebenen Topologie; sie impliziert nicht zwingend Null-Dimensionalität (Existenz einer Basis aus clopen Mengen) und schließt perfekte oder überabzählbare Beispiele nicht aus.

Semantische Spannung

Die semantische Spannung besteht gegenüber Null-Dimensionalität (Basis aus clopen Mengen) und gegenüber total separiert (stärker: beliebige zwei Punkte lassen sich durch clopen Mengen trennen); diese verwandten Begriffe werden oft verwechselt, unterscheiden sich aber in Strenge.

Synthese

Total getrenntheit bedeutet, dass Zusammenhängigkeit auf Punkte zusammenbricht: der Raum erlaubt viele Trennungen, so dass zusammenhängende Komponenten keine innere Struktur über Einpunktmengen hinaus besitzen, während das Globale dennoch komplex sein kann.