Definición
Un espacio topológico es totalmente desconectado si todas sus componentes conexas son singletons; equivalentemente, el espacio no contiene subconjuntos conexos no triviales con más de un punto.
Principio
Principio
La idea organizadora es la separación a escalas arbitrariamente pequeñas: puntos distintos no pueden unirse por un subconjunto conexo no trivial, de modo que la conexidad se reduce a singletons y la topología admite muchas separaciones clopen entre puntos o conjuntos pequeños.
Demostración
Demostración
El conjunto de Cantor (con la topología subespacial de la recta real) es totalmente desconectado: no contiene intervalos y cualquier subconjunto conexo es un punto, aunque sea perfecto e incontable.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir un espacio desconectado con uno totalmente desconectado es incorrecto: un espacio con exactamente dos componentes conexas está desconectado pero no es totalmente desconectado salvo que cada componente sea un singleton.
Consecuencia
Consecuencia
Si un espacio es totalmente desconectado, las imágenes continuas en espacios conexos no triviales están muy restringidas (las imágenes de las componentes conexas son singletons); construcciones algebraicas y descomposiciones combinatorias suelen aprovechar la abundancia de conjuntos clopen.
Inversión
Inversión
Un espacio conexo (por ejemplo un intervalo real) es la inversión: posee subconjuntos conexos no triviales y no puede partirse en conjuntos clopen disjuntos no vacíos.
Límite
Límite
La desconexión total es una propiedad puramente topológica respecto a la topología dada; no implica cero-dimensionalidad (existencia de una base de conjuntos clopen) y no excluye ejemplos perfectos o incontables.
Tensión semántica
Tensión semántica
La tensión semántica aparece frente a la cero-dimensionalidad (exige una base de clopen) y frente a la noción de totalmente separado (más fuerte: cualquier par de puntos puede separarse por clopen); estos conceptos cercanos a menudo se confunden aunque difieren en fuerza.
Síntesis
Síntesis
La desconexión total expresa que la conexidad degenera hasta los puntos: el espacio admite muchas separaciones, de modo que las componentes conexas no contienen estructura interna más allá de singletons, al tiempo que puede mantener comportamiento global complejo.