Propriété topologique exigeant que chaque point possède une base de voisinages constituée d'ouverts connexes ; autrement dit, chaque point admet des voisinages connexes arbitrairement petits.

Principe

La connexité locale contrôle la topologie locale : on peut choisir des voisinages connexes, ce qui implique que les composantes des ouverts sont ouvertes et simplifie la relation entre composantes et composantes par arcs ; la connexité locale est une hypothèse de régularité locale utilisée dans des théorèmes de décomposition.

Démonstration

Exemple : l'espace euclidien R^n est localement connexe car les petites boules ouvertes autour de tout point sont connexes. Contre-exemple : l'espace peigne présente des points d'accumulation pour lesquels il n'existe pas de voisinages connexes arbitrairement petits, donc il n'est pas localement connexe.

Mauvaise application

Supposer que la connexité de l'espace entier entraîne la connexité locale, ou que la connexité locale implique la connexité par arcs ; confondre connexité locale et ouverture des composantes sans vérifier la condition sur la base de voisinages.

Conséquence

Dans un espace localement connexe, les composantes des ouverts sont ouvertes, et dans les espaces localement par arcs connexes les composantes par arcs coïncident avec les composantes ; la connexité locale facilite des raisonnements par récurrence et des procédures de recollement reposant sur des voisinages connexes.

Inversion

Les espaces non localement connexes ont des points dont tout voisinage suffisamment petit est déconnecté ; de tels espaces peuvent être globalement connexes tout en présentant une structure désordonnée à petite échelle (fractales ou exemples en peigne).

Limite

Propriété des espaces topologiques relative aux bases de voisinages ; elle n'est pas déduite de la simple connexité et est distincte de la connexité locale par arcs (plus forte). Elle concerne des bases d'ouverts et n'impose pas de compacité ou de finitude globale.

Tension sémantique

Souvent opposée à la connexité locale par arcs : cette dernière exige des voisinages par arcs connexes et est plus forte ; la connexité locale se situe entre la connexité globale et des propriétés locales plus fortes, créant une tension dans le choix des hypothèses pour les théorèmes.

Synthèse

La Connexité Locale exige que chaque point possède une base de voisinages ouverts connexes : condition de régularité locale qui rend les composantes d'ouverts ouvertes et facilite le passage de l'information locale aux conclusions topologiques globales.