Topologische Eigenschaft, die verlangt, dass jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die ausschließlich aus zusammenhängenden offenen Mengen besteht; äquivalent: jeder Punkt hat beliebig kleine zusammenhängende Umgebungen.

Prinzip

Lokalzusammenhang steuert die lokale Topologie: Umgebungen können verbunden gewählt werden, was zur Folge hat, dass Komponenten offener Mengen offen sind und die Beziehung zwischen Komponenten und Wegkomponenten vereinfacht; Lokalzusammenhang ist eine lokale Regularitätsannahme, die in Zerlegungssätzen genutzt wird.

Demonstration

Beispiel: Der euklidische Raum R^n ist lokal zusammenhängend, da kleine offene Kugeln um jeden Punkt zusammenhängend sind. Gegenbeispiel: der Topologist's Comb besitzt Ansammlungsstellen, bei denen es keine beliebig kleinen zusammenhängenden Umgebungen gibt, daher fehlt der lokale Zusammenhang.

Fehlanwendung

Anzunehmen, ein global zusammenhängender Raum sei automatisch lokal zusammenhängend, oder lokal zusammenhängend impliziere Wegzusammenhang; Lokalzusammenhang mit der Offenheit von Komponenten zu verwechseln, ohne die Umgebungsbasisbedingung zu prüfen.

Konsequenz

In einem lokal zusammenhängenden Raum sind die Komponenten offener Mengen offen, und in lokal wegzusammenhängenden Räumen stimmen Wegkomponenten und Komponenten überein; Lokalzusammenhang erleichtert Induktionsargumente und Klebeprozesse, die auf zusammenhängenden Umgebungen beruhen.

Umkehrung

Nicht-lokal zusammenhängende Räume haben Punkte, bei denen jede hinreichend kleine Umgebung zerlegt ist; solche Räume können global zusammenhängend sein, aber auf feiner Skala stark zerrissen erscheinen (z. B. gewisse Fraktale oder Kamm-Beispiele).

Abgrenzung

Eigenschaft topologischer Räume, die sich auf Umgebungsbasen bezieht; sie folgt nicht aus einfachem Zusammenhang und unterscheidet sich vom lokalen Wegzusammenhang (stärker). Sie bezieht sich auf offene Basen und behauptet nichts über globale Kompaktheit oder Endlichkeit.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zum lokalen Wegzusammenhang: Dieser verlangt wegzusammenhängende Umgebungen und ist stärker; Lokalzusammenhang liegt zwischen globalem Zusammenhang und stärkeren lokalen Pfadeigenschaften, was bei Theoremenwahl zu Zielkonflikten führt.

Synthese

Lokal Zusammenhang verlangt für jeden Punkt eine Basis aus zusammenhängenden offenen Umgebungen; dies ist eine lokale Regularitätsbedingung, die Komponenten offener Mengen offen macht und den Übergang von lokalen Informationen zu globalen topologischen Aussagen erleichtert.