Propiedad topológica que exige que cada punto tenga una base de vecindades formada por conjuntos abiertos conexos; equivalentemente, cada punto posee vecindades conexas arbitrariamente pequeñas.

Principio

La conexidad local controla la topología local: se pueden elegir vecindades conexas, lo que implica que las componentes de conjuntos abiertos son abiertas y simplifica la relación entre componentes y componentes por caminos; la conexidad local es una hipótesis de regularidad local usada en teoremas de descomposición.

Demostración

Ejemplo: el espacio euclidiano R^n es localmente conexo porque las pequeñas bolas abiertas alrededor de cualquier punto son conexas. Contraejemplo: el peine del topólogo tiene puntos de acumulación sin vecindades conexas arbitrariamente pequeñas, por lo que no es localmente conexo.

Aplicación incorrecta

Asumir que la conexidad del espacio entero implica conexidad local, o que la conexidad local implica conexidad por caminos; confundir conexidad local con la apertura de las componentes sin comprobar la condición de base de vecindades.

Consecuencia

En un espacio localmente conexo, las componentes de los abiertos son abiertas, y en espacios localmente conexos por caminos las componentes por caminos coinciden con las componentes; la conexidad local facilita argumentos inductivos y procedimientos de pegado que requieren vecindades conexas.

Inversión

Los espacios no localmente conexos tienen puntos cuyas vecindades suficientemente pequeñas son desconectadas; tales espacios pueden ser globalmente conexos pero presentar una estructura muy desconectada a escala fina (por ejemplo, ciertos fractales o ejemplos tipo peine).

Límite

Propiedad de espacios topológicos relativa a bases de vecindades; no se deduce de la mera conexidad y difiere de la conexidad local por caminos (más fuerte). Se aplica a bases de abiertos y no impone compacidad o finitud global.

Tensión semántica

A menudo contrastada con la conexidad local por caminos: esta última exige vecindades conexas por caminos y es más fuerte; la conexidad local queda entre la conexidad global y propiedades locales más fuertes, generando tensiones al elegir hipótesis para teoremas.

Síntesis

La Conexidad Local exige que cada punto tenga una base de vecindades abiertas conexas; es una condición de regularidad local que hace que las componentes de abiertos sean abiertas y facilita el paso de información local a conclusiones topológicas globales.