Propriété d'un espace topologique X signifiant que toute paire de points x,y∈X peut être reliée par une application continue γ:[0,1]→X telle que γ(0)=x et γ(1)=y ; souvent appelée connexité par arcs.

Principe

La connexité par arcs exige l'existence de chemins continus entre chaque paire de points ; c'est une condition plus forte que la connexité et, dans les espaces localement par arcs connexes, les composantes par arcs sont ouvertes et coïncident avec les composantes.

Démonstration

Exemple : R^n est connexe par arcs car pour tout x,y la droite γ(t) = (1−t)x + t y est un chemin continu de x à y. Le cercle S^1 est connexe par arcs via une paramétrisation par longueur d'arc. En revanche, l'espace peigne du topologue est connexe mais non connexe par arcs.

Mauvaise application

Supposer que la connexité entraîne la connexité par arcs dans tous les espaces ; ne pas vérifier la continuité d'un 'chemin' donné (par ex. formules par morceaux avec des sauts) ou ignorer une paramétrisation du domaine qui échoue aux extrémités.

Conséquence

Un espace connexe par arcs est connexe et de nombreux invariants d'algèbre topologique (groupe fondamental, théorie des revêtements) s'appuient sur des classes d'homotopie de chemins ; la connexité par arcs permet des arguments de relèvement et d'homotopie nécessitant des chemins concrets.

Inversion

Espaces connexes mais non par arcs : il existe des points qui ne peuvent pas être joints par un chemin continu ; l'antonyme extrême est un espace totalement sans chemins non triviaux entre points distincts.

Limite

Définie pour les espaces topologiques ; exige des applications continues de l'intervalle unité. Elle ne mesure pas le nombre de classes d'homotopie de chemins (lié au groupe fondamental) et exclut les formes plus faibles comme la connexité locale par arcs, sauf précision.

Tension sémantique

Tension avec la simple connexité : la connexité par arcs est constructive et alimente la théorie de l'homotopie, alors que la connexité est une notion de séparation ; elle se met aussi en tension avec la connexité locale par arcs qui garantit l'ouverture des composantes par arcs.

Synthèse

La Connexité Par Arcs exige que tout couple de points soit relié par un chemin continu, renforcement constructif de la connexité qui fonde les arguments d'homotopie basés sur des chemins.