Eigenschaft eines topologischen Raumes X, dass jedes Paar von Punkten x,y∈X durch eine stetige Abbildung γ:[0,1]→X mit γ(0)=x und γ(1)=y verbunden werden kann; auch Wegzusammenhang genannt.

Prinzip

Wegzusammenhang verlangt die Existenz stetiger Wege zwischen beliebigen Punkten; er ist stärker als Zusammenhang und in lokal wegzusammenhängenden Räumen sind Wegkomponenten offen und stimmen mit den Komponenten überein.

Demonstration

Beispiel: R^n ist wegzusammenhängend, denn für x,y definiert γ(t)=(1−t)x+ty eine stetige Gerade von x nach y. Der Kreis S^1 ist wegzusammenhängend über eine Bogenlängenparametrisierung. Ein klassisches Gegenbeispiel: der Topologist's Comb ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.

Fehlanwendung

Anzunehmen, dass Zusammenhang stets Wegzusammenhang impliziert; die Kontinuität eines angeblichen 'Weges' nicht zu prüfen (z. B. stückweise definierte Formeln mit Sprüngen) oder die Parametrisierung am Rand zu vernachlässigen.

Konsequenz

Wegzusammenhängende Räume sind zusammenhängend, und viele algebraische-topologische Invarianten (Fundamentalgruppe, Überlagerungstheorie) werden mit Hilfe von Wegklassen von Schleifen definiert; Wegzusammenhang erlaubt Hebungs- und Homotopieargumente, die explizite Wege benötigen.

Umkehrung

Weg-Disconnectedness: Räume, die zwar zusammenhängend sind, aber keine stetigen Wege zwischen bestimmten Punkten besitzen; extremes Gegenstück sind total wegzusammenhangsfreie Räume ohne nichttriviale Wege zwischen verschiedenen Punkten.

Abgrenzung

Definiert für topologische Räume; erfordert stetige Abbildungen vom Einheitsintervall. Misst nicht die Anzahl homotopieäquivalenter Wege (das betrifft die Fundamentalgruppe) und schließt schwächere Formen wie lokalen Wegzusammenhang aus, sofern nicht zusätzlich gefordert.

Semantische Spannung

Im Spannungsverhältnis zur bloßen Zusammenhangseigenschaft: Wegzusammenhang liefert konstruktive Pfade und ist zentral für die Homotopietheorie, während Zusammenhang rein trennungs-basiert ist; steht auch im Bezug zu lokalem Wegzusammenhang, der Offenheit der Wegkomponenten sichert.

Synthese

Wegzusammenhang ist die Forderung, dass sich beliebige Punkte durch einen stetigen Weg verbinden lassen; dies ist eine konstruktive Verstärkung der Zusammenhangseigenschaft und grundlegend für pfadbasierte Homotopieargumente.