Propiedad de un espacio topológico X según la cual cada par de puntos x,y en X puede unirse mediante una aplicación continua γ:[0,1]→X con γ(0)=x y γ(1)=y; también denominada conexidad por caminos.

Principio

La conexidad por caminos exige la existencia de caminos continuos entre cualesquiera dos puntos; es una condición más fuerte que la conexidad y, en espacios localmente conexos por caminos, las componentes por caminos son abiertas y coinciden con las componentes.

Demostración

Ejemplo: R^n es conexo por caminos porque para x,y la recta γ(t)=(1−t)x+ty es un camino continuo de x a y. El círculo S^1 es conexo por caminos mediante parametrizaciones por longitud de arco. Un contraejemplo clásico: el peine del topólogo es conexo pero no por caminos.

Aplicación incorrecta

Suponer que la conexidad implica siempre conexidad por caminos; no comprobar la continuidad de un 'camino' propuesto (por ejemplo, fórmulas por tramos con saltos) o ignorar la parametrización que falla en los extremos.

Consecuencia

Los espacios conexos por caminos son conexos y muchas invariantes de la topología algebraica (grupo fundamental, teoría de recubrimientos) se definen usando clases de homotopía de caminos; la conexidad por caminos permite argumentos de levantamiento y homotopía que requieren caminos explícitos.

Inversión

Espacios que son conexos pero no por caminos: existen puntos que no pueden unirse por un camino continuo; el reverso extremo son espacios totalmente sin caminos no triviales entre puntos distintos.

Límite

Definida para espacios topológicos; requiere aplicaciones continuas desde el intervalo unidad. No cuantifica el número de clases de homotopía de caminos (relacionado con el grupo fundamental) y excluye formas más débiles como la conexidad local por caminos salvo que se especifique.

Tensión semántica

Tensión con la mera conexidad: la conexidad por caminos es constructiva y sirve a la teoría de la homotopía, mientras que la conexidad es una noción basada en separaciones; también se relaciona con la conexidad local por caminos, que garantiza la apertura de las componentes por caminos.

Síntesis

La Conexidad por Caminos exige que cualquier par de puntos pueda unirse mediante un camino continuo; es una fuerte versión constructiva de la conexidad que fundamenta argumentos homotópicos basados en caminos.