Propriété topologique d'un espace X signifiant que X ne peut pas s'exprimer comme l'union de deux ouverts disjoints non vides ; de façon équivalente, les seuls ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés sont ∅ et X.

Principe

La connexité est une condition d'indivisibilité : il n'existe pas de séparation de X en deux parties ouvertes disjointes non vides. Elle est invariante par images continues surjectives et préservée pour la fermeture d'ensembles connexes sous des hypothèses faibles.

Démonstration

Exemple : l'intervalle [0,1] dans R avec la topologie usuelle est connexe car toute application continue vers un espace à deux points discrets impliquerait une séparation ; les images continues de [0,1] sont connexes, donc il n'existe pas de surjection continue sur deux ouverts disjoints non vides. En revanche, (0,1)∪(2,3) est déconnecté.

Mauvaise application

Confondre connexité et unicité de composantes au sens fort ; un espace peut être connexe mais ne pas vérifier des propriétés plus fortes (par ex. ne pas être par arcs). Conclure à tort que tout sous-ensemble d'un espace connexe est connexe — ce n'est pas vrai en général.

Conséquence

Si X est connexe, toute application continue f:X→Y a une image f(X) connexe. La connexité contraint les fonctions possibles et les décompositions topologiques et sous-tend des phénomènes du type valeur intermédiaire pour les fonctions réelles continues.

Inversion

Déconnexion : X admet une séparation en deux ouverts disjoints non vides, ou, de façon équivalente, possède un sous-ensemble clopen non trivial ; exemples de renversement extrême sont les espaces totalement déconnectés où les composantes sont des singletons (par ex. certains ensembles de Cantor).

Limite

Propriété des espaces topologiques ; ne mesure pas le degré de connexité (par ex. nombre de composantes) et exclut les notions de connexité par arcs ou locale sauf précision ; les espaces discrets à plus d'un point sont déconnectés.

Tension sémantique

Est en tension conceptuelle avec la connexité par arcs et la connexité locale : la connexité par arcs implique la connexité mais pas réciproquement ; la connexité est une notion globale plus grossière comparée aux contraintes locales imposées par les autres notions.

Synthèse

La Connexité est l'indivisibilité topologique fondamentale : un espace est connexe s'il ne peut être séparé en deux ouverts disjoints non vides, condition qui contraint ses images continues et qui est plus faible que la connexité par arcs ou locale.