Topologische Eigenschaft eines Raumes X, die besagt, dass X nicht als Vereinigung von zwei disjunkten nichtleeren offenen Mengen dargestellt werden kann; äquivalent sind die einzigen zugleich offen und abgeschlossen Mengen ∅ und X.

Prinzip

Zusammenhang ist eine Unteilbarkeitsbedingung: Es gibt keine Trennung von X in zwei disjunkte nichtleere offene Teilmengen. Er ist invariant unter stetigen Abbildungen (Bilder stetiger Abbildungen sind zusammenhängend) und wird unter gewissen Voraussetzungen beim Abschluss zusammenhängender Teilmengen erhalten.

Demonstration

Beispiel: Das Intervall [0,1] in R mit der üblichen Topologie ist zusammenhängend, da eine stetige Abbildung auf eine diskrete Zweipunkte-Menge eine Trennung erzeugen würde; stetige Bilder von [0,1] sind zusammenhängend. Dagegen ist (0,1)∪(2,3) nicht zusammenhängend.

Fehlanwendung

Zusammenhang mit der strengeren Eigenschaft zu verwechseln, z. B. mit Wegzusammenhang; ein Raum kann zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sein. Fälschlicherweise annehmen, dass jede Teilmenge eines zusammenhängenden Raumes zusammenhängend ist — das gilt nicht allgemein.

Konsequenz

Ist X zusammenhängend, dann hat jede stetige Abbildung f:X→Y ein zusammenhängendes Bild f(X). Zusammenhang begrenzt mögliche Abbildungen und topologische Zerlegungen und steht hinter Zwischenwerteigenschaften für reellwertige stetige Funktionen.

Umkehrung

Zerlegbarkeit/Disconnectedness: X besitzt eine Trennung in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen bzw. ein nichttriviales klopen Teilmengen; extreme Umkehrbeispiele sind total zerlegte Räume, in denen Komponenten Einzelpunkte sind (z. B. gewisse Cantor-Mengen).

Abgrenzung

Eigenschaft topologischer Räume; misst keinen Grad der Zusammenhängigkeit (z. B. Anzahl der Komponenten) und schließt Begriffe wie Wegzusammenhang oder lokale Zusammenhang aus, sofern nicht zusätzlich angenommen; diskrete Räume mit mehr als einem Punkt sind nicht zusammenhängend.

Semantische Spannung

Steht im begrifflichen Gegensatz zu Wegzusammenhang und lokalem Zusammenhang: Wegzusammenhang impliziert Zusammenhang, aber nicht umgekehrt; Zusammenhang ist eine globalere, gröbere Eigenschaft im Vergleich zu lokalen Pfadeigenschaften.

Synthese

Zusammenhang ist die grundlegende topologische Unteilbarkeit: Ein Raum ist zusammenhängend, wenn er nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden kann; diese Bedingung beschränkt stetige Abbildungen und ist schwächer als Weg- oder lokaler Zusammenhang.