Propiedad topológica de un espacio X que significa que X no puede expresarse como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos no vacíos; equivalentemente, los únicos subconjuntos de X que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y X.

Principio

La conexidad es una condición de indivisibilidad: no existe una separación de X en dos partes abiertas disjuntas no vacías. Es invariante por imágenes continuas y se conserva al tomar cierres de conjuntos conexos bajo hipótesis moderadas.

Demostración

Ejemplo: el intervalo [0,1] en R con la topología usual es conexo porque cualquier aplicación continua a un espacio discreto de dos puntos implicaría una separación; las imágenes continuas de [0,1] son conexas. En cambio, (0,1)∪(2,3) es desconexo.

Aplicación incorrecta

Confundir conexidad con propiedades más fuertes como conexidad por caminos; un espacio puede ser conexo pero no por caminos. Concluir erróneamente que cualquier subconjunto de un espacio conexo es conexo — no es cierto en general.

Consecuencia

Si X es conexo, cualquier aplicación continua f:X→Y tiene imagen f(X) conexa. La conexidad limita las funciones y las posibles descomposiciones topológicas y subyace a fenómenos como el valor intermedio para funciones reales continuas.

Inversión

Desconexidad: X admite una separación en dos abiertos disjuntos no vacíos, o equivalentemente posee un subconjunto clopen no trivial; ejemplos extremos son los espacios totalmente desconexos cuyas componentes son puntos individuales (por ejemplo, ciertos conjuntos de Cantor).

Límite

Propiedad de espacios topológicos; no cuantifica grados de conexidad (por ejemplo número de componentes) y excluye conceptos de conexidad por caminos o local salvo que se especifique; los espacios discretos con más de un punto son desconexos.

Tensión semántica

En tensión conceptual con la conexidad por caminos y la conexidad local: la conexidad por caminos implica conexidad pero no a la inversa; la conexidad es una noción global más gruesa frente a restricciones locales.

Síntesis

La Conexidad es la indivisibilidad topológica básica: un espacio es conexo cuando no puede separarse en dos abiertos disjuntos no vacíos; esta condición restringe las imágenes continuas y es más débil que la conexidad por caminos o la local.