Pour une application continue f : X→Y, le cylindre de la carte Mf est l'espace obtenu en prenant la réunion disjointe X×[0,1] ⊔ Y et en identifiant chaque (x,1)∈X×{1} avec f(x)∈Y ; autrement dit Mf = X×[0,1] ⊔_f Y. Il sert de modèle pour une homotopie entre f et l'inclusion cofibrante de X dans Mf.

Principe

On attache un cylindre sur X à Y le long de f en une extrémité de sorte que X s'embed comme sous-espace (x↦(x,0)) et que f se factorise X → Mf → Y avec la seconde application se rétractant par déformation sur Y sous hypotheses raisonnables ; les cylindres de mappage facilitent la factorisation d'applications en cofibrations suivies d'équivalences d'homotopie.

Démonstration

Pour l'inclusion i : A→X, le cylindre de l'inclusion Mi est homéomorphe à l'union de X et A×[0,1] collés le long de A×{1}, produisant un espace où A est muni d'un coller cylindrique ; pour tout f qui est une équivalence d'homotopie, Mf se rétracte par déformation sur Y.

Mauvaise application

Employer le cylindre de mappage sans vérifier les hypothèses topologiques (par exemple espaces non séparés ou applications mal comportées) ou confondre Mf avec le cône de mappage (en écrasant la tranche incorrecte) peut induire en erreur quant aux propriétés de cofibration et aux suites de cofibrés d'homotopie.

Conséquence

Le cylindre de mappage fournit une cofibration canonique X→Mf et une projection Mf→Y homotope à f ; c'est un outil de base pour construire des homotopies, démontrer des théorèmes de factorisation et réaliser des attachements cellulaires relatifs.

Inversion

Écraser X×{0} dans Mf donne le cône de mappage, qui encode l'information de cofibre d'homotopie ; inverser la construction du cylindre en retirant le coller cylindrique ne récupère l'application d'origine qu'à homotopie près, généralement pas par homéomorphisme.

Limite

Les énoncés homotopiques précis demandent de travailler dans des catégories convenables (espaces compactement engendrés et séparés, complexes CW) ou d'ajouter des données de point base pour les versions pointées ; Mf dépend de la flèche f et n'est pas fonctoriel en Y seul.

Tension sémantique

Le cylindre de mappage est souvent confondu avec le cylindre produit ou le cône de mappage : le cylindre de f attache X×[0,1] à Y le long de {1}, tandis que le cône de mappage écrase ensuite X×{0} ; ces différences déterminent si l'on construit une cofibration ou une cofibre.

Synthèse

Le cylindre de mappage de f : X→Y est X×[0,1] attaché à Y via f sur la tranche haute ; il factorise f en une cofibration suivie d'une application homotope à f et sert d'outil concret pour produire collerings, homotopies et factorisations en cofibrations.