Zu einer stetigen Abbildung f: X→Y ist der Abbildungszylinder Mf der Raum, der durch X×[0,1] ⊔ Y entsteht, wobei jedes (x,1)∈X×{1} mit f(x)∈Y identifiziert wird; kurz Mf = X×[0,1] ⊔_f Y. Er modelliert eine Homotopie zwischen f und einer Cofibrationseinschließung von X in Mf.

Prinzip

Ein Zylinder über X wird entlang f an Y angefügt, so dass X als Teilraum (x↦(x,0)) eingebettet ist und f als X → Mf → Y faktorisiert wird, wobei die zweite Abbildung unter milden Voraussetzungen eine Deformationsretraktion auf Y ermöglicht; Abbildungszylinder liefern Cofibration/Äquivalenz-Faktorisierungen von Abbildungen.

Demonstration

Für die Inklusion i: A→X ist der Abbildungszylinder Mi homöomorph zur Vereinigung von X mit A×[0,1], aufgeklebt entlang A×{1}, wodurch A eine Zylinderhülle erhält; falls f eine Homotopieäquivalenz ist, retractiert Mf auf Y.

Fehlanwendung

Die Verwendung des Abbildungszylinders ohne Prüfung topologischer Voraussetzungen (z. B. nicht-Hausdorffräume oder schlecht verhaltene Abbildungen) oder die Verwechslung von Mf mit dem Abbildungskegel (falsche Schicht kollabieren) kann über Cofibrationseigenschaften und Homotopie-Kofaserfolgen irreführen.

Konsequenz

Der Abbildungszylinder liefert eine kanonische Cofibration X→Mf und eine Projektion Mf→Y, die zu f homotop ist; er ist ein grundlegendes Werkzeug zum Konstruieren von Homotopien, Beweisen von Faktorisierungssätzen und Bauen relativer Zellanhängungen.

Umkehrung

Durch Kollabieren von X×{0} in Mf erhält man den Abbildungskegel, der Informationen zur Homotopie-Kofaser enthält; das Rückgängigmachen der Zylinderkonstruktion durch Entfernen der Zylinderhülle stellt die ursprüngliche Abbildung nur bis auf Homotopie wieder her, in der Regel nicht bis auf Homöomorphie.

Abgrenzung

Präzise homotopische Aussagen erfordern das Arbeiten in geeigneten Kategorien (kompakt‑generierte Hausdorffräume, CW‑Komplexe) oder das Hinzufügen von Basispunktdaten für punktierte Versionen; Mf hängt von der konkreten Abbildung f ab und ist nicht allein funktoriell in Y.

Semantische Spannung

Der Abbildungszylinder wird oft mit dem Produktzylinder oder dem Abbildungskegel verwechselt: Der Zylinder von f hängt X×[0,1] entlang {1} an Y, während der Abbildungskegel zusätzlich X×{0} kollabiert; diese Differenz entscheidet, ob man eine Cofibration oder eine Kofaser konstruiert.

Synthese

Der Abbildungszylinder von f: X→Y ist X×[0,1], das mittels f an Y angeklebt wird; er faktorisiert f in eine Cofibration gefolgt von einer zu f homotopen Abbildung und dient als konkretes Instrument zur Erzeugung von Hüllen, Homotopien und Cofibration-Faktorisierungen.