Dada una aplicación continua f: X→Y, el cilindro de mapeo Mf es el espacio obtenido al tomar X×[0,1] unión disjunta con Y y identificar cada (x,1)∈X×{1} con f(x)∈Y; es decir, Mf = X×[0,1] ⊔_f Y. Proporciona un modelo para una homotopía entre f y una inclusión cofibrante de X en Mf.

Principio

Se adhiere un cilindro sobre X a Y a lo largo de f en un extremo, de modo que X se inserta como subespacio (x↦(x,0)) y f se factoriza como X → Mf → Y, con la segunda aplicación retractable por deformación sobre Y bajo hipótesis suaves; los cilindros de mapeo facilitan la factorización de aplicaciones en cofibraciones seguidas de equivalencias de homotopía.

Demostración

Para la inclusión i: A→X, el cilindro de la inclusión Mi es homeomorfo a la unión de X con A×[0,1] pegada a lo largo de A×{1}, produciendo un espacio en el que A tiene un collar cilíndrico; si f es una equivalencia de homotopía, Mf se retrae por deformación sobre Y.

Aplicación incorrecta

Usar el cilindro de mapeo sin comprobar hipótesis topológicas (por ejemplo espacios no Hausdorff o aplicaciones mal comportadas) o confundir Mf con el cono de mapeo (colapsar la rebanada equivocada) puede inducir a error acerca de propiedades de cofibración y secuencias cofibra de homotopía.

Consecuencia

El cilindro de mapeo proporciona una cofibración canónica X→Mf y una proyección Mf→Y homotópica a f; es una herramienta básica para construir homotopías, probar teoremas de factorización y realizar adjuntos celulares relativos.

Inversión

Colapsar X×{0} en Mf produce el cono de mapeo, que codifica la información de la cofibra homotópica; invertir la construcción del cilindro quitando el collar cilíndrico recupera la aplicación original solo hasta homotopía y no en general por homeomorfismo.

Límite

Las afirmaciones homotópicas precisas requieren trabajar en categorías convenientes (espacios compactamente generados y Hausdorff, complejos CW) o añadir datos de punto base para las versiones apuntadas; Mf depende de la aplicación f concreta y no es fonctorial solo en Y.

Tensión semántica

El cilindro de mapeo a menudo se confunde con el cilindro producto o con el cono de mapeo: el cilindro de f pega X×[0,1] a Y a lo largo de {1}, mientras que el cono de mapeo colapsa además X×{0}; esa diferencia determina si se construye una cofibración o una cofibra.

Síntesis

El cilindro de mapeo de f: X→Y es X×[0,1] unido a Y mediante f en la rebanada superior; factoriza f en una cofibración seguida de una aplicación homotópica a f y sirve como un dispositivo concreto para producir collares, homotopías y factorizaciones en cofibraciones.