Le cône CX d'un espace topologique X est le quotient de X×[0,1] obtenu en écrasant X×{0} en un point unique, appelé le sommet ; X×{1} est la base et le cône contracte X vers le sommet le long de rayon.

Principe

L'effondrement d'un seul bout d'un cylindre sur X en un point produit un sommet contractile attaché à X ; la construction du cône rend tout espace contractile par rapport au sommet tout en conservant la base comme sous-espace.

Démonstration

Pour tout espace X, CX contient une copie de X à la hauteur 1 et un sommet unique à la hauteur 0 ; pour X=S^n, le cône CS^n est homéomorphe à la boule D^{n+1}, qui est contractile.

Mauvaise application

Confondre le cône et la suspension en écrasant les deux bouts, ou ne pas distinguer cônes réduits et non réduits, conduit à des conclusions d'homotopie erronées ; écraser un sous-ensemble propre de X×{0} au lieu de la tranche entière modifie fortement la topologie.

Conséquence

La construction du cône donne un espace contractile dès que X est non vide ; on utilise les cônes pour construire des homotopies, des cônes de morphismes (mapping cones) et des attachements cellulaires relatifs dans les constructions CW.

Inversion

L'opération inverse consiste à récupérer la base du cône ou à enlever le sommet ; bien qu'on puisse souvent rétracter un cône sur sa base, le sommet est contractile, de sorte que l'inverse ne restitue généralement pas l'espace d'origine à homéomorphisme près.

Limite

Les constructions qui reposent sur un point base ou des suites d'homotopie exactes exigent de la prudence : les cônes sont contractiles quelle que soit la base, mais les notions de cône de morphisme et de cône réduit nécessitent des applications pointées ou des quotients soignés ; des topologies pathologiques peuvent rompre les intuitions naïves.

Tension sémantique

Cône et suspension sont des concepts proches : le cône écrase un seul bout et produit un sommet contractile, tandis que la suspension écrase les deux bouts et donne deux points distingués avec un comportement d'homotopie différent.

Synthèse

Le cône de X est le quotient de X×[0,1] qui écrase X×{0} en un sommet, produisant un espace avec X comme base et un sommet rendant l'ensemble contractile ; les cônes sont des briques de base pour les homotopies et les cofibres.