Der Kegel CX über einem topologischen Raum X ist der Quotient von X×[0,1], der entsteht, indem man X×{0} zu einem einzigen Punkt, der Spitze, zusammenzieht; X×{1} bildet die Basis und der Kegel leitet X radial zur Spitze.

Prinzip

Das Kollabieren eines Endes eines Zylinders über X zu einem Punkt erzeugt eine kontraktile Spitze, die an X hängt; die Kegel-Konstruktion macht jeden Raum bezüglich der Spitze kontraktibel, während die Basis erhalten bleibt.

Demonstration

Für jeden Raum X enthält CX eine Kopie von X in Höhe 1 und eine einzelne Spitze in Höhe 0; für X=S^n ist CS^n homöomorph zur (n+1)-Kugel D^{n+1}, die kontraktibel ist.

Fehlanwendung

Die Verwechslung von Kegel und Suspension durch Kollabieren beider Enden oder das Nichtunterscheiden von reduzierten und unreduzierten Kegeln führt zu falschen homotopischen Schlussfolgerungen; das Kollabieren einer echten Teilmenge von X×{0} statt der ganzen Schicht verändert die Topologie stark.

Konsequenz

Die Kegel-Konstruktion liefert ein kontraktibles Objekt, sobald X nicht leer ist; Kegel werden verwendet, um Homotopien zu bauen, Abbildungskegel zu konstruieren und relative Zellanhängungen in CW‑Konstruktionen vorzunehmen.

Umkehrung

Die Umkehr ist das Zurückgewinnen der Basis oder Entfernen der Spitze; obwohl man einen Kegel oft auf seine Basis retractieren kann, ist die Spitze kontraktibel, sodass die Umkehr in der Regel nicht das ursprüngliche Raum bis auf Homöomorphie wiederherstellt.

Abgrenzung

Aussagen, die punktierte Eigenschaften oder exakte Homotopiefolgen benötigen, erfordern Vorsicht: Kegel sind unabhängig von einem Basispunkt kontraktibel, aber Begriffe wie Abbildungskegel und reduzierter Kegel verlangen punktierte Abbildungen oder sorgfältige Quotienten; pathologische Topologien können naive Intuitionen zerstören.

Semantische Spannung

Kegel und Suspension sind nahe verwandte Begriffe: Ein Kegel kollabiert nur ein Ende und besitzt eine kontraktile Spitze, während die Suspension beide Enden kollabiert und ein anderes Homotopie-Verhalten liefert.

Synthese

Der Kegel über X ist der Quotient von X×[0,1], der X×{0} zur Spitze kollabiert, wodurch ein Raum mit X als Basis und einer kontraktilen Spitze entsteht; Kegel sind grundlegende Bausteine für Homotopien und Kofaserkonstruktionen.